Este manual trata procedimientos y metodologías para el análisis, cálculo, y diseño de obras de drenaje de carreteras, incluyendo alcantarillas, puentes, y drenaje longitudinal y transversal, superficial y subterráneo. El énfasis de esta obra es en conceptos modernos de hidrología, hidráulica, y transporte de sedimentos. Acorde con los avances de los tiempos actuales, el manual hace uso de un gran número de calculadoras en línea, las cuales facilitan el análisis y el cálculo, optimizando así la experiencia y reduciendo el tiempo requerido para el diseño.

Asimismo, la disponibilidad en línea de este manual en formato HTML facilita grandemente su acceso y visualización, y por ende, su corrección, mejora, y ampliación. Cabe notar que su formato amistoso lo coloca en posición privilegiada para informar, educar, e instruir a las generaciones presentes y futuras de profesionales ingenieros dedicados al planeamiento, diseño, contrucción, conservación y mantenimiento de carreteras.

2.  HIDROLOGÍA

[ Hidráulica ]  [ Bibliografía ]  •  [ Arriba ]  [ Introducción ]

Toda el agua que escurre sobre la Tierra tiene su origen en el ciclo hidrológico. Éste es un proceso continuo por medio del cual el agua se evapora de los océanos y es transportada, por gradientes de presiones atmosféricas, hacia las regiones continentales, donde se produce su precipitación a la superficie y regresa eventualmente al océano, impulsada esta vez por la fuerza de la gravedad. La Figura 1 muestra los componentes del ciclo hidrológico.

Fig. 1  El ciclo hidrológico.

El drenaje de carreteras tiene como objetivo principal el manejar las aguas del ciclo hidrológico con el fin de reducir y/o eliminar el riesgo de daños a las carreteras y obras accesorias [obras de arte]. Desde el punto de vista de drenaje, la componente más importante del ciclo hidrológico es el escurrimiento, o escorrentía, superficial. El escurrimiento superficial se refiere a la fracción [de tiempo, del ciclo hidrológico] en la cual el agua es transportada sobre el terreno, en contacto directo con éste.

En la práctica, el escurrimiento superficial tiene dos manifestaciones bien diferenciadas:

1. Flujo sobre el terreno, el cual ocurre inmediatamente después de tocar el terreno, y mientras fluye directamente sobre éste, sin que se manifieste aún una dirección predominante, y

2. Flujo en corriente, luego de llegar a la corriente más cercana, y unirse con ésta, con la presencia ya clara de una dirección predominante.

Ambos tipos de escurrimiento son importantes en el drenaje de carreteras. Los flujos sobre el terreno eventualmente se juntan o unifican, formando un flujo en corriente. La situación local determina si el flujo es (a) sobre el terreno, o (b) en corriente. Generalmente, el flujo sobre el terreno tiene profundidades pequeñas (Fig. 2), mientras que el flujo en corriente tiene usualmente profundidades mayores (Fig. 3).

Fig. 2  Flujo sobre el terreno:  El Chaco Bajo, Paraguay.

Fig. 3  Flujo en corriente:  Cañón de Tomas, provincia de Yauyos, Lima, Perú.

El flujo en corriente puede originarse:

1. Sobre la superficie, es decir, el flujo directo; o

2. Debajo de la superficie, constituyendo el flujo indirecto, el cual proviene de la filtración de agua subterránea. A este último se le denomina flujo de base.

El flujo directo es típicamente rápido, por lo tanto, es muy importante en el drenaje de carreteras. Contrariamente a esto, el flujo indirecto es lento; por lo tanto, es de importancia secundaria en el drenaje.

Las corrientes, ya sean naturales o artificiales, se clasifican en: (a) efímeras, (b) intermitentes, y (c) perennes. Las corrientes efímeras las constituyen las quebradas y arroyos, es decir, los cursos de agua predominantemente secos, los cuales conducen flujos solamente durante un evento de lluvia y/o inmediatamente después de éste. Las obras de drenaje se concentran particularmente en las corrientes efímeras, las cuales son capaces de conducir grandes cantidades de agua provenientes de los aguaceros o chubascos. Estos grandes flujos pueden eventualmente poner en peligro la integridad de las obras viales (Fig. 4).

Fig. 4  Gran vado sobre el Arroyo Guadalupe, Baja California, México.

Una consideración importante en el drenaje de carreteras es la difusión del escurrimiento. Ésta se refiere al cálculo de la magnitud de la descarga de diseño. En el análisis hidráulico, el flujo se clasifica en:

1. Permanente, el cual no varía en el tiempo, y

2. No permanente, o transitorio, el cual varía en el tiempo.

La difusión es el mecanismo por medio del cual el flujo no permanente se atenúa en el espacio y en el tiempo, disminuyendo su tamaño por debajo de un valor máximo teóricamente posible. En la práctica, la magnitud de difusión determina el valor de la descarga de diseño. El valor máximo posible Q_max es función de la intensidad de precipitación (intensidad efectiva I_e) y el tamaño de la cuenca (área de drenaje A):

Qmax = Ie A

(1)

En ausencia de difusión, la descarga o caudal adquiere su valor máximo, dado por la Ec. 1. Contrariamente a esto, en presencia de difusión, la descarga se atenúa, es decir, disminuye su valor por debajo del máximo. El objetivo central de la hidrología del drenaje de carreteras es calcular la magnitud de difusión. Este cálculo depende si el flujo es a través de:

1. Un embalse, es decir, en dimensión cero,

2. Una corriente, en una dimensión, o

3. Una cuenca, en más de una dimensión.

2.2.1  Difusión a través de un embalse

Los embalses, o reservorios, son estructuras naturales o artificiales que producen difusión del escurrimiento. El flujo a través de un embalse está regido por la ecuación diferencial de almacenamiento:

dS I - O  =  _____                dt

(2)

en la cual I = flujo de entrada, O = flujo de salida, y dS/dt = velocidad de cambio del almacenamiento, expresada en unidades L³ T ^-1 (Fig. 5).

Fig. 5  Flujo de entrada, flujo de salida, y velocidad de cambio de almacenamiento en un embalse.

En general, la relación entre el flujo de salida O y el almacenamiento S es:

S = K O m

(3)

en la cual K = coeficiente, y m = exponente.

Para m = 1, la Ec. 3 se reduce a la forma lineal:

S = K O

(4)

en la cual K = constante de almacenamiento, con unidades de tiempo (T). En la práctica, la combinación de la Ec. 2 con cualquiera de las Ecs. 3 o 4 produce difusión del escurrimiento. La difusión se manifiesta en la atenuación del hidrograma, como se muestra en la Fig. 6.

Fig. 6  Atenuación del hidrograma en el tránsito a través de un embalse.

Una de las funciones de un embalse es difusionar el flujo; esto le proporciona dos propiedades (Fig. 6):

1. La respuesta del flujo es inmediata, es decir, los dos hidrogramas, el de entrada y el de salida, comienzan en el tiempo t = 0;

2. En el momento en el cual los flujos de entrada y salida son iguales, el flujo de salida es máximo.

La primera propiedad se debe a que, en un embalse, la superficie del agua es esencialmente horizontal; por lo tanto, la celeridad de las ondas superficiales pequeñas es teóricamente infinita (Ponce, 2014). La segunda propiedad se debe a cuando los flujos de entrada y salida son iguales, el volumen almacenado es el máximo; por lo tanto, el flujo de salida es el máximo (Ec. 4).

2.2.2  Difusión a través de una corriente o canal

Las corrientes, o canales, son elementos hidráulicos que pueden o no proporcionar difusión del escurrimiento, dependiendo de la escala relativa de la onda de superficie. La magnitud de difusión se caracteriza por el número de onda adimensional σ, como se muestra en la Fig. 7. El número de onda adimensional se define como sigue:

2 π σ  =  _______  Lo              L

(5)

en el cual L = longitud de onda, y L_o = longitud de la corriente (o canal) en el cual el flujo de equilibrio pierde una altura igual a su profundidad (Lighthill and Whitham, 1955):

do Lo  =  ______              So

(6)

Fig. 7  Celeridad de propagación de ondas superficiales en el flujo en canales (Ponce y Simons, 1977).

Existen cuatro tipos de ondas en el flujo en corrientes:

1. Ondas cinemáticas,

2. Ondas dinámicas,

3. Ondas cinemático-dinámicas mixtas, y

4. Ondas difusivas.

Las ondas cinemáticas se encuentran en el lado izquierdo de la Fig. 7, donde la celeridad relativa adimensional es constante y, por lo tanto, la atenuación es nula.

Las ondas dinámicas se encuentran en el lado derecho, también con un valor constante de la celeridad relativa adimensional y, por consiguiente, atenuación nula.

Las ondas cinemático-dinámicas mixtas se encuentran hacia el centro de la figura, con celeridad variable y atenuación consecuentemente mayor.

Las ondas difusivas son intermedias entre las ondas cinemáticas y las ondas cinemático-dinámicas mixtas, con atenuación pequeña a media.

En el drenaje de carreteras, las ondas cinemáticas se aplican en los casos en que la difusión es despreciable o nula; por ejemplo, en el flujo en pendientes fuertes. Las ondas difusivas se aplican cuando la difusión es pequeña; por ejemplo, en pendientes moderadas. Las ondas cinemático-dinámicas mixtas, aplicables usualmente a la rotura de presas, tienen un uso limitado en el drenaje de carreteras. De igual manera, las ondas dinámicas, aplicables a la operación de canales de regadío, tienen un uso limitado en el drenaje de carreteras.

Las ecuaciones de continuidad y movimiento del flujo unidimensional no permanente, comúnmente conocidas como las ecuaciones de Saint Venant, pueden ser linearizadas y combinadas en una ecuación de convección-difusión, con la descarga Q como la variable dependiente (Hayami, 1951; Dooge, 1973; Dooge et al., 1982; Ponce, 1991a )

∂Q              dQ        ∂Q                 Qo                             ∂2Q ______  +  ( ______ ) ______  =  [ ( ________ ) ( 1 - V 2 ) ] _______    ∂t               dA         ∂x               2 T So                          ∂x2

(7)

en la cual A = área de flujo; T = ancho de superficie; S_o = pendiente del fondo, y V = número de Vedernikov, definido como la relación entre la celeridad relativa de la onda cinemática y la celeridad relativa de la onda dinámica (Ponce, 1991b):

(β - 1) vo    V  =  ______________               (g do)1/2

(8)

en la cual β = exponente de la curva de gasto (Q = α A^β), v_o = velocidad de flujo, d_o = profundidad de flujo, y g = aceleración de la gravedad.

Nótese que en la Ec. 7, para V = 0, el coeficiente del término de segundo orden se reduce a la difusividad hidráulica cinemática, originalmente debida a Hayami (1951). Por otro lado, para V = 1, el coeficiente se reduce a cero y la difusión desaparece. Bajo esta última condición, todas las ondas, cinemáticas, dinámicas, y mixtas, independientemente de la escala, se propagan a la misma celeridad, fomentando así el desarrollo de ondas de rollo (Fig. 8). Esta condición de estabilidad neutral del flujo (V = 1) debe tomarse en cuenta en el diseño de obras de drenaje urbano y de carreteras.

Fig. 8  Ondas de rollo en un canal de pendiente fuerte; irrigación Cabana-Mañazo, Puno, Perú.

2.2.3  Difusión a través de una cuenca

Una cuenca hidrográfica es una parte de la corteza terrestre que tiene la propiedad de concentrar el escurrimiento superficial en un solo punto, localizado aguas abajo, denominado la boca, o sección de salida, de la cuenca. La Fig. 9 muestra un diagrama de la cuenca del río Alto Parramatta, en Nuevo Gales del Sur, Australia.

Fig. 9  Cuenca del río Alto Parramatta, Nuevo Gales del Sur, Australia.

La cuenca hidrográfica se describe por sus características geométricas, topográficas, e hidráulicas. Las principales son:

• Área,

• Forma de la cuenca,

• Elevación máxima,

• Elevación mínima,

• Longitud hidráulica,

• Longitud al centroide, y

• Tiempo de concentración.

La longitud hidráulica es aquélla medida a lo largo del curso de agua principal (Fig. 10).

Fig. 10  Longitudes características de una cuenca.

El tiempo de concentración es el tiempo que toma un volumen determinado de agua para recorrer la longitud hidráulica y concentrar el flujo en la salida de la cuenca. Bajo condiciones de flujo turbulento, el tiempo de concentración está directamente relacionado con la longitud hidráulica L y la rugosidad de fondo n (es decir, el coeficiente de Manning), e inversamente con la intensidad efectiva de precipitación I_e y la pendiente de fondo S_o (Ponce, 2014):

2 (Ln) 1/m tc  =   ___________________              Ie  (m - 1)/m So 1/(2m)

(9)

en la cual m = exponente de la curva de gasto unitario [en el plano de escurrimiento] q = ah^m, a = coeficiente, y h = profundidad de flujo.

El escurrimiento superficial en una cuenca puede ser de tres tipos (Ponce, 2014):

1. Flujo concentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es igual al tiempo de concentración;

2. Flujo superconcentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es mayor que el tiempo de concentración; y

3. Flujo subconcentrado, cuando la duración efectiva de la precipitación es menor que el tiempo de concentración.

La Figura 11 muestra un esquema de libro abierto utilizado en la modelación del escurrimiento superficial en cuencas. La entrada es la precipitación efectiva en dos planos adyacentes a un canal; la salida es el hidrograma en la boca, o salida, de la cuenca.

Fig. 11  Esquema de libro abierto utilizado en la modelación del escurrimiento superficial .

La Figura 12 muestra los hidrogramas de salida para los tres casos descritos anteriormente (Ponce y Klabunde, 1999). El caudal máximo posible es: Q_p = I_eA, en la que I_e = intensidad efectiva de precipitación, y A = área de la cuenca. Por definición, el caudal máximo posible se alcanza en un flujo concentrado o superconcentrado. En el caso del flujo subconcentrado, el caudal no llega a alcanzar el valor máximo posible. Esto representa difusión del escurrimiento, debido a que efectivamente el flujo se ha extendido en el tiempo (y en el espacio).

Fig. 12  Hidrogramas de escurrimiento superficial en cuencas de libro abierto (Ponce y Klabunde, 1999).

Por lo tanto, la difusión del escurrimiento en cuencas se produce para todas las ondas o perturbaciones cuando el flujo es subconcentrado, es decir, cuando el tiempo de concentración es mayor que la duración efectiva de precipitación. Esto suele ser así en el caso de las cuencas medianas y grandes, para las cuales la pendiente media de la cuenca (a lo largo de la longitud hidráulica) es suficientemente pequeña.

2.3  Escala de cuencas

El concepto de escala de cuenca y su aplicación al cálculo de la hidrología de avenidas es relativamente reciente (Ponce, 1989; 2014). Lo que sí está establecido hace muchos años es que la difusión tiende a aumentar con el tamaño de la cuenca. Creager et al. (1945) graficaron por primera vez la descarga de avenida vs el área de la cuenca (Fig. 13). El gráfico de Creager muestra claramente que la descarga unitaria de avenida (la descarga pico por unidad de área) es inversamente proporcional al área de la cuenca. El gráfico de Creager es empírico, sin ninguna connotación de frecuencia, por lo que ha caído en desuso a través de los años. Sin embargo, su mensajes es claro: La difusión es importante en el cálculo de la descarga de avenida.

[Haga click en la figura para desplegar]

Fig. 13  Gráfico de Creager.

En la práctica, la escala de cuenca a analizar varía grandemente. Las cuencas pueden tener desde menos de una hectárea (0.01 km²) (por ejemplo, un desarrollo urbano muy pequeño) hasta varios millones de kilómetros cuadrados (la cuenca del río Amazonas). Los tamaños de cuenca más usuales están en el rango 0.1 km² a 10 000 km². Ponce (1989) ha dividido las cuencas, para propósitos de cálculo, en:

1. Pequeñas, de 0 a 2,5 km², en las cuales la difusión es muy pequeña y, por lo tanto, despreciable;

2. Medianas, de 2,5 a 1 000 km², en las cuales la difusión es apreciable y la tormenta cubre toda la cuenca, y

3. Grandes, en exceso de 1 000 km², en los cuales la difusión es apreciable y la tormenta no cubre toda la cuenca.

Nótese que la difusión está ausente en las cuencas pequeñas y presente en las cuencas medianas. En las cuencas grandes, la difusión es aún mayor. En este caso podrá ser necesario calcular en forma detallada el tránsito del flujo en las corrientes, pues el flujo pasa la mayor parte del tiempo en éstas.

La Figura 14 muestra la delimitación de la cuenca del río La Leche, en Lambayeque, Perú, aguas arriba de La Calzada (sitio de presa propuesto), la cual drena un área de 907 km². La red de drenaje está trazada en color rojo, y las divisorias de cuencas en color morado [veintiséis (26) subcuencas].

[Haga click en la figura para desplegar]

Fig. 14  Cuenca del río La Leche, aguas arriba de La Calzada, Lambayeque, Perú.

Todas las obras viales requieren drenaje. El análisis se concentra en la intersección de la red vial con la red natural de drenaje superficial (quebradas, arroyos, corrientes, y ríos). El método de cálculo para determinar la descarga de diseño dependerá del tamaño de la cuenca tributaria. Asimismo, la importancia y el costo de la obra de drenaje dependerán del tamaño de la cuenca.

2.3.1  Relaciones de frecuencia

En las cuencas pequeñas, se aplican las curvas de intensidad-duración-frecuencia, a las cuales se las refiere comúnmente por las siglas IDF. Éstas son una serie de curvas de intensidad de precipitación en las ordenadas versus duración en las abscisas, con la frecuencia como el parámetro de las curvas. La frecuencia es el número de años que demora un evento en repetirse; por ejemplo, una vez en 50 años: 1/50, ó 0.02. Las curvas IDF son función del clima prevaleciente y son generadas en forma local o regional.

Las curvas IDF se utilizan en el método racional [Sección 2.4] para determinar la intensidad, dadas la duración (la que se asume igual al tiempo de concentración) y la frecuencia. El período de retorno T es el recíproco de la frecuencia. Los períodos de retorno más usados en estudios de drenaje son los siguientes:  2, 5, 10, 25, 50, y 100 años.

En las cuencas medianas, se aplican los mapas de profundidad-duración-frecuencia, referidos por las siglas PDF (o, alternativamente, DDF, su equivalente en Inglés). Éstos son una serie de mapas de precipitación (P), cada uno aplicable a una duración (D) y frecuencia (F) determinadas. Los mapas son función del clima prevaleciente, a ser generados en forma local o regional. Estos mapas se utilizan en las aplicaciones del hidrograma unitario [Sección 2.5].

Es importante notar que, en cuencas pequeñas, la intensidad de precipitación I (cm/h) es el parámetro de importancia, mientras que en cuencas medianas, lo es la profundidad P (cm).

2.3.2  Relaciones temporales

En el análisis de cuencas medianas y grandes, es necesario distribuir la tormenta P en la duración D con el fin de obtener un hietograma de tormenta. Para las cuencas medianas, la duración típica es de 6 a 12 h; para las cuencas grandes, es de 24 a 48 h. La Figura 15 muestra un ejemplo de la división de una tormenta estándar de 24 h en cuatro incrementos, o intervalos, de 6 h cada uno (Ponce, 1989).

Fig. 15  División de una tormenta estándar de 24 h en cuatro incrementos de 6 h cada uno.

2.4  El método racional

El método racional es el más usado para el análisis de escurrimiento directo en cuencas pequeñas. El método está basado en el principio de concentración del escurrimiento, que establece que la descarga máxima, o descarga pico Q_p, es igual al producto de la intensidad de precipitación efectiva I_e por el área de la cuenca tributaria A:

Qp = Ie A

(10)

Esto implica que el método racional no considera la difusión, lo cual limita su aplicabilidad a cuencas pequeñas. En la práctica, la intensidad efectiva se estima como una fracción apropiada de la intensidad de precipitación total I:

Ie = C I

(11)

en la cual C = coeficiente de escurrimiento [del evento], a ser determinado en base a experiencia local o regional.

Reemplazando la Ec. 11 en la Ec. 10, la fórmula de método racional es:

Qp = C I A

(12)

En el sistema de unidades SI, la fórmula de método racional es:

Qp = 2.778 C I A

(13)

en la cual Q_p es en L/s, I en mm/h, y A en ha.

El valor de C varía teóricamente en el rango 0-1, aunque los valores más usuales se encuentran típicamente en el rango 0.3 < C ≤ 0.7. La Tabla 1 muestra coeficientes de escurrimiento aplicables a zonas rurales.

Ejemplo No. 1. Calcular la descarga pico Qp por el método racional (Ec. 12), dados: C = 0.6, I = 10 mm/h, y A = 45 ha. Solución.  Qp = C I A Qp = ( 0.6 × 10 mm/h × 0.001 m/mm × 45 ha × 10 000 m2/ha × 1 000 L/m3) / (3 600 seg/h) = 750 L/s.   CÁLCULO EN LÍNEA. Usando el calculador RACIONAL, la descarga pico para los datos proporcionados es: Qp = 750 L/s.

2.5  Abstracciones hidrológicas

El método del número de curva fue presentado en 1954 por el Servicio de Conservación de Recursos Naturales de los EE.UU. El método es usado a nivel mundial para calcular la tormenta efectiva, una vez conocidas la tormenta total y un parámetro de abstracción hidrológica denominado "número de la curva," o CN (Curve Number en Inglés). El método fue desarrollado originalmente para ser usado en la abstracción de eventos, aplicable al flujo directo (Sección 2.1) y, por consiguiente, al cálculo de avenidas para las cuales el flujo directo es preponderante. Su uso inicial fue en la hidrología agrícola; posteriormente, su uso fue extendido a las hidrologías forestal, de pastizales, y urbana, y en los últimos años, a otros tipos de hidrología, a falta de métodos alternativos.

El método asume la siguiente proporcionalidad entre la retención y el escurrimiento:

Q            P - Q ______  =  ________    P               S

(14)

en la cual Q = escurrimiento real; P = escurrimiento potencial, es decir, la precipitación; (P - Q) = retención real; y S = retención potencial.

El concepto del número de la curva difiere diametralmente del clásico principio de Horton, en el cual el escurrimiento Q es igual a la diferencia entre la precipitación P y la infiltración I (retención); es decir, a mayor retención, menor escurrimiento (Horton, 1933). Contrariamente a esto, en el método del número de la curva, a mayor retención, mayor escurrimiento.

Esta aparente dicotomía se explica de la siguiente manera: El principio de Horton asume que el suelo tiene una profundidad infinita, la cual no forma parte del cálculo; de manera opuesta, en el método del número de la curva, el suelo tiene una profundidad finita, representada por la retención potencial (el parámetro S). El método del número de la curva es de naturaleza conceptual; sin embargo, la Ec. 14 ha demostrado a través de los años, su aplicabilidad en la práctica.

La Ecuación 14 no considera la posibilidad de una abstracción inicial, es decir, de que el escurrimiento Q comience, no para P > 0, sino para P > P_a, en la cual P_a es un valor pequeño, finito. Esta situación se ha resuelto restándole a P una abstracción inicial I_a, compuesta principalmente por intercepción, almacenamiento en la superficie, y alguna infiltración que pueda tener lugar antes de que comience el escurrimiento. Incluyendo la abstracción inicial, la Ec. 14 se expresa como sigue:

Q               P - Ia - Q _________  =  _____________    P - Ia                  S

(15)

Resolviendo para Q:

( P - Ia )2 Q = ______________            P - Ia + S

(16)

la cual está sujeta a la siguiente restricción:  Q = 0 para P < I_a.

La Ecuación 16 tiene dos parámetros: I_a y S. Para simplificar el método, se ha relacionado la abstracción inicial con la retención potencial de la siguiente manera:

Ia  =  0.2 S

(17)

Esta relación fue obtenida en base a datos de precipitación-escurrimiento en cuencas pequeñas experimentales. El coeficiente 0.2 ha sido objeto de amplio escrutinio. Por ejemplo, Springer et al. (1980) evaluaron pequeñas cuencas húmedas y semiáridas y encontraron que el coeficiente de la Ec. 31 varía en el rango entre 0.0 y 0.26. Sin embargo, 0.2 es el valor estándar recomendado por NRCS.

Dada la Ec. 17, la Ec. 16 se reduce a:

( P - 0.2 S )2 Q = ________________             P + 0.8 S

(18)

la cual está sujeta a la siguiente restricción:  Q = 0 para P < 0.2 S.

La retención potencial S varía dentro de un amplio rango (0 ≤ S ≤ ∞). Para simplificar, se la ha expresado en términos de un parámetro denominado número de la curva, un número entero que varía en el rango de 1 a 100. La ecuación elegida es (Ponce, 1996):

1000 S = _________  -  10            CN

(19)

en la cual CN = número de la curva (adimensional) y S, 1000 y 10 son expresados en pulgadas. Por ejemplo, para CN = 100, S = 0 pulgadas; y para CN = 1, S = 990 pulgadas. Por lo tanto, la capacidad para abstracción de precipitación es inversamente proporcional al número de la curva. Para CN = 100, la abstracción es nula y el escurrimiento es igual a la precipitación total; por otro lado, para CN = 1, prácticamente toda la lluvia es abstraída, con el escurrimiento resultante siendo esencialmente nulo.

Reemplazando la Ec. 19 en la Ec. 18:

[ CN ( P + 2 ) - 200 ] 2 Q =   ____________________________             CN [ CN ( P - 8 ) + 800 ]

(20)

la cual está sujeta a la siguiente restricción:  Q = 0 para P < [ (200/CN) - 2]. En la Ec. 20, los valores de P y Q están expresados en pulgadas. En unidades SI, la Ec. 20 se convierte a:

R [ CN ( P/R + 2 ) - 200 ] 2 Q =   ______________________________             CN [ CN ( P/R - 8 ) + 800 ]

(21)

la cual está sujeta a la siguiente restricción:  Q = 0 para P < R [(200/CN) - 2]. Con R = 2.54 [cm/pulgada] en la Ec. 21, P y Q se expresan en centímetros.

La Figura 16 muestra un gráfico de la Ec. 20 (pulgadas) y Ec. 21 (centímetros). Cabe notar que el escurrimiento [directo] Q está graficado en función de la precipitación [total] P y del número de la curva CN.

Fig. 16  Escurrimiento directo Q en función de la precipitación P y el número de la curva CN.

2.6  El hidrograma unitario

El método del hidrograma unitario es el más usado para el análisis del escurrimiento superficial en cuencas medianas. El método fue desarrollado como una alternativa para el método racional, aplicable al caso de cuencas medianas, en las cuales la difusión es apreciable (Sherman, 1932).

Cabe anotar que el método del hidrograma unitario se aplica a una cuenca determinada, utiliza sólo una tormenta, y determina sólo un hidrograma de avenida, a la salida de la cuenca. Por lo tanto, el método está limitado a cuencas medianas, para las cuales la tormenta cubre toda la cuenca. Para cuencas grandes, mayores de 1 000 km², la división en subcuencas y el tránsito de avenidas a través de la red de drenaje permite especificar tormentas diferentes en subcuencas diferentes.

El hidrograma unitario se define como el hidrograma producido por una unidad de escurrimiento (usualmente 1 cm) distribuida uniformemente sobre toda la cuenca y de una unidad de duración (es decir, de duración indivisible). Esta última puede ser t_r = 1 h, 2 h, 3 h, 6 h, 12 h, o 24 h, dependiendo del tamaño de la cuenca. Por ejemplo, supongamos que una tormenta dada produce 1 cm de escurrimiento en una cuenca 50 km² de área, con una duración de 2 h. El hidrograma medido a la salida de la cuenca es el hidrograma unitario de 2 h de duración (Fig. 17).

Fig. 17  Definición del hidrograma unitario.

En la Fig. 17, la profundidad de precipitación es 1 cm y la duración es t_r = 2 h; por lo tanto, la intensidad de precipitación es I_a = 0.5 cm/h. El hidrograma unitario correspondiente tiene un volumen de 1 cm, que es igual al volumen escurrido V =  ∫ Q dt, dividido entre el área A de la cuenca.

La forma del hidrograma unitario, incluyendo descarga pico y tiempo al pico, describe la difusión de la precipitación efectiva unitaria (1 cm) para una duración dada t_r. El hidrograma unitario es el elemento básico en el proceso de convolución (Sección 2.6.5), por medio del cual se calcula el hidrograma de avenida.

2.6.1  Hidrogramas unitarios sintéticos

Un hidrograma unitario se puede construir de dos maneras:

1. Utilizando datos reales, y

2. En base a f&ocute;rmulas ya establecidas que calculan un hidrograma unitario sintético.

El primer método es poco usado, pues requiere de mediciones de aforos, que son generalmente escasas. Por otro lado, los hidrogramas unitarios sintéticos son muy populares en los cálculos de descargas de avenida en cuencas medianas.

La función de hidrograma unitario sintético es predecir la forma del hidrograma, particularmente la descarga pico Q_p y el tiempo pico t_p, es decir, el tiempo transcurrido desde el inicio del hidrograma hasta la ocurrencia de la descarga pico. A mayor difusión, menor es la descarga pico y mayor el tiempo transcurrido; contrariamente a esto, a menor difusión, mayor es la descarga pico y menor el tiempo transcurrido. En el límite inferior, cuando la difusión es nula, la descarga pico es la máxima posible y el tiempo transcurrido es igual a la duración de la precipitación unitaria, es decir, a la duración del hidrograma. En resumen:

• La forma del hidrograma unitario es un triángulo isósceles,

• La descarga pico es:  Q_p = I_e A (Ec. 1),

• El tiempo transcurrido a la descarga pico es:  t_p = t_r, y

• El tiempo de base del hidrograma unitario es: T_b = 2 t_p.

Nótese que para el caso de ausencia de difusión, la descarga pico del hidrograma unitario sintético es la misma que la del método racional (Sección 2.4). Para el caso de difusión apreciable, es decir, para cuencas medianas, existen dos hidrogramas unitarios sintéticos:

1. El hidrograma unitario sintético de Snyder (1938); y

2. El hidrograma unitario sintético del Servicio de Conservación de Recursos Naturales de los EE.UU. (conocido como el hidrograma unitario NRCS por sus siglas en Inglés) (USDA Natural Resources Conservation Service, 1985).

El desarrollo de un hidrograma unitario sintético está basado en el siguiente principio:

"El volumen subtendido por el hidrograma unitario es igual al área de la cuenca multiplicada por 1 cm de escurrimiento; por lo tanto, la descarga pico puede ser calculada asumiendo la forma y algún tiempo del hidrograma (tiempo de base, o tiempo al pico)."

Por ejemplo, si se asume un hidrograma triangular, el volumen es igual a:

Qp Tbt V  =   __________ = A × (1)                 2

(22)

en la cual T_bt = tiempo de base del hidrograma unitario triangular (Fig. 18). Por lo tanto, la descarga pico es:

2 A Qp  =   _______               Tbt

(23)

Fig. 18  El hidrograma unitario triangular.

Los hidrogramas unitarios sintéticos relacionan el tiempo del base con un parámetro empírico que caracteriza la difusión, denominado tiempo de retardo, definido como el tiempo transcurrido entre una medida de la precipitación y una medida del escurrimiento; por ejemplo, entre el centroide de la precipitación y el pico del escurrimiento. El tiempo de retardo está directamente relacionado con las longitudes de la cuenca (Fig. 10) e inversamente con la pendiente predominante. A mayor tiempo de retardo, mayor la atenuación del hidrograma unitario y, por lo tanto, mayor la difusión generada por la cuenca.

2.6.2  Hidrograma unitario de Snyder

El hidrograma unitario sintético de Snyder tiene las siguientes propiedades:

1. Tiempo de retardo t_l :

   tl = Ct (L Lc ) 0.3

   (24)

   en la cual t_l = tiempo de retardo, definido como el tiempo transcurrido entre el centro de la precipitación efectiva y el pico de la descarga, en horas; C_t = coeficiente de retardo, el cual varía en el rango 1.35 ≤ C_t ≤ 1.65, con un valor promedio de 1.5; L = longitud hidráulica, en km; L_c = longitud al centroide de la cuenca, en km (Fig. 10).

2. Descarga pico Q_p :

   2.778 Cp A Qp  =   _______________                       tl

   (25)

   en la cual Q_p = descarga pico del hidrograma unitario, en m³/s; C_p = coeficiente de descarga, el cual varía en el rango 0.56 ≤ C_p ≤ 0.69; A = área de la cuenca, en km²; y t_l = tiempo de retardo, en horas.

3. Duración t_r :

   tr = (2/11) tl

   (26)

4. Tiempo transcurrido a la descarga pico t_p :

   tp = (1/2) tr + tl = (12/11) tl

   (27)

5. Tiempo de base T_b :

   Tb = 72 + 3 tl

   (28)

   en la cual T_b = tiempo de base, en horas.

En resumen, el hidrograma unitario sintético de Snyder tiene dos parámetros:

1. C_t, que determina el tiempo de retardo (Ec. 24) y, por lo tanto, la magnitud de la difusión; y

2. C_p, que determina el valor de la descarga pico y, por lo tanto, también tiene un efecto en la magnitud de la difusión.

A mayor valor de C_t  y menor valor de C_p, mayor la magnitud de difusión incorporada en el hidrograma de Snyder. Además, la relación C_t /C_p es directamente proporcional a la magnitud de difusión. Los valores de C_t y C_p se determinan mediante análisis regional, o en base a experiencia local. Las Ecuaciones 24 a 28 pueden utilizarse para estimar la forma del hidrograma unitario de Snyder, teniendo cuenta que el volumen subtendido debe corresponder a 1 cm de escurrimiento.

2.6.3  Hidrograma unitario NRCS

A diferencia del hidrograma de Snyder, el cual tiene dos parámetros por determinar, el hidrograma unitario sintético NRCS tiene un solo parámetro, el cual es fijo. Esto resulta en un método simple, pero inflexible. A pesar de esto, el método se mantiene popular, habiendo sido aplicado en los últimos 60 años a nivel global.

El hidrograma unitario NRCS difiere del de Snyder en que usa un valor constante de la relación tiempo-de-base triangular a tiempo al pico T_bt /t_p = 8/3, lo cual equivale a C_p = 0.675. [Cabe notar que en el método de Snyder, el rango de valores de este parámetro es 0.56 ≤ C_p ≤ 0.69, lo que indica que la difusión del hidrograma unitario NRCS es pequeña, pues está muy cerca al límite superior del C_p del hidrograma de Snyder]. Otra diferencia marcada es que el hidrograma NRCS utiliza un valor constante de la relación tiempo-de-base real a tiempo al pico T_b/t_p = 5. Además, el hidrograma NRCS estandariza la forma del hidrograma unitario mediante el uso de una función adimensional (Fig. 19).

Fig. 19  El hidrograma unitario adimensional NRCS.

Para calcular el tiempo de retardo, el método de NRCS utiliza los siguientes procedimientos alternativos:

1. Método del número de la curva, y

2. Método de la velocidad.

El método del número de la curva se limita a áreas de menos de 8 km², aunque la evidencia sugiere que puede extenderse hasta 16 km² (McCuen et al., 1984). El tiempo de retardo se expresa mediante la siguiente fórmula:

L0.8 ( 2540 - 22.86CN )0.7 tl = _____________________________               14104 CN 0.7Y 0.5

(29)

en la cual t_l = tiempo de retardo, en horas; L = longitud hidráulica, en m (Fig. 10); CN = número de la curva (Sección 2.5); y Y = pendiente media, en m/m.

Alternativamente, el método de la velocidad se utiliza para cuencas mayores de 8 km², o para cuencas con números de la curva fuera del rango 50 ≤ CN ≤ 95. En este método, la corriente principal se divide en varios tramos. En cada tramo, se estima la descarga de avenida correspondiente a la frecuencia de 2 años. Luego se calculan la velocidad media y el tiempo de viaje en cada tramo. La suma de los tiempos de viaje de todos los tramos es el tiempo de concentración t_c correspondiente a toda la cuenca. El tiempo de retraso t_l se estima mediante la siguiente relación:

tl           6 ____ = _____  tc         10

(30)

En el hidrograma unitario NRCS, la relación de tiempo al pico t_p  a duración t_r  es fija:

tp ___ = 5  tr

(31)

Por definición, el tiempo al pico es:

tr tp = ____ + tl          2

(32)

Eliminando t_r de las Ecs. 31 y 32:

tp       10 ___ = _____  tl         9

(33)

Por lo tanto:

tr         2 ___ = ____  tl         9

(34)

y, combinando las Ecs. 30 y 34, sólo para el caso del método de la velocidad:

tr         2 ___ = _____  tc        15

(35)

Reemplazando T_bt /t_p = 8/3 en la Ec. 23:

0.75 A Qp = _________               tp

(36)

En el sistema de unidades SI, la descarga pico es:

2.08 A Qp = _________               tp

(37)

en la que Q_p = descarga pico del hidrograma unitario NRCS, en m³/s; A = área de la cuenca, en km²; y t_p = tiempo al pico, en horas.

Teniendo en cuenta las Ecs. 30 y 32, el tiempo al pico se puede calcular de la siguiente manera: t_p = 0.5 t_r + 0.6 t_c. Una vez calculados t_p y Q_p (Ec. 37), el hidrograma unitario adimensional (Fig. 19 y Tabla 2) se utiliza para calcular el hidrograma unitario. El Ejemplo No. 4 ilustra el cálculo de un hidrograma unitario NRCS.

Tabla 2  Ordenadas del hidrograma unitario adimensional NRCS. t / tp Q / Qp   t / tp Q / Qp   t / tp Q / Qp   t / tp Q / Qp   t / tp Q / Qp 0.2 0.10   1.2 0.93   2.2 0.207   3.2 0.040   4.2 0.0100 0.4 0.31   1.4 0.78   2.4 0.147   3.4 0.029   4.4 0.0070 0.6 0.66   1.6 0.56   2.6 0.107   3.6 0.021   4.6 0.0030 0.8 0.93   1.8 0.39   2.8 0.077   3.8 0.015   4.8 0.0015 1.0 1.00   2.0 0.28   3.0 0.055   4.0 0.011   5.0 0.0000

Ejemplo No. 4. Calcular el hidrograma unitario NRCS para una cuenca de 6.42 km2, con los siguientes datos: Longitud hidráulica L = 2 204 m; número de la curva CN = 62; y pendiente media del terreno Y = 0.02. Solución.- Usando la Ec. 29: tl = 1.8 h. Usando la Ec. 34: tr = 0.4 h. Usando la Ec. 31: tp = 2 h; por lo tanto, el tiempo de base real es: Tb = 10 h. Usando la Ec. 37, la descarga pico es: Qp = 6.68 m3/s. La Columna 4 de la Tabla 3 muestra las ordenadas del hidrograma unitario NRCS. Tabla 3  Ordenadas del hidrograma unitario NRCS (Qp = 6.68 m3; tp = 2 h). (1) (2) (3) (4) t /tp Q /Qp t (h) Q (m3/s) 0.0 0.00 0.0 0.000 0.2 0.10 0.4 0.668 0.4 0.31 0.8 2.071 0.6 0.66 1.2 4.410 0.8 0.93 1.6 6.212 1.0 1.00 2.0 6.680 1.2 0.93 2.4 6.212 1.4 0.78 2.8 6.212 1.6 0.56 3.2 3.740 1.8 0.39 3.6 2.605 2.0 0.28 4.0 1.870 2.2 0.207 4.4 1.382 2.4 0.147 4.8 0.982 2.6 0.107 5.2 0.714 2.8 0.077 5.6 0.514 3.0 0.055 6.0 0.367 3.2 0.040 6.4 0.267 3.4 0.029 6.8 0.194 3.6 0.021 7.2 0.140 3.8 0.015 7.6 0.100 4.0 0.011 8.0 0.073 4.2 0.010 8.4 0.067 4.4 0.007 8.8 0.047 4.6 0.003 9.2 0.020 4.8 0.0015 9.6 0.010 5.0 0.0000 10.0 0.000

2.6.4  Cambio de duración del hidrograma unitario

Toda cuenca tiene varios hidrogramas unitarios, correspondientes a varias duraciones posibles (usualmente 1 h, 2 h, 3 h, 6 h, 12 h, y 24 h). Cuando se conoce un hidrograma unitario de duración X, los hidrogramas de otras duraciones pueden ser calculados usando dos métodos: (1) el método de superposición, y (2) el método del hidrograma S. Mediante la superposición, el hidrograma unitario de duración nX es obtenido en base al hidrograma unitario de duración X, en la cual n es un número entero. Mediante el hidrograma S, el hidrograma unitario de duración kX es obtenido en base al hidrograma de duración X, en la cual k puede ser un número entero o una fracción.

El Ejemplo No. 5 detalla el cálculo del método de superposición para calcular los hidrograma unitarios de 2 h y 3 h, dado el hidrograma de 1 h. El Ejemplo No. 6 detalla el cálculo del método del hidrograma S para calcular los hidrograma unitarios de 3 h y de 1 h, dado el hidrograma de 2 h.

Ejemplo No. 5. Utilice el método de superposición para calcular los hidrogramas unitarios de 2 h y 3 h de duración, dado el siguiente hidrograma unitario de 1 h: Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Flujo (m3/s) 0 100 200 400 800 700 600 500 400 300 200 100 0 Solución. Los cálculos se muestran en la Tabla 4. La Columna 1 muestra el tiempo en horas. La Columna 2 muestra las ordenadas del hidrograma unitario de 1 h. La Columna 3 muestra las ordenadas del hidrograma unitario de 1 h, con retardo de 1 h. La Columna 4 muestra las ordenadas del hidrograma unitario de 1 h, con retardo de 2 h. La Columna 5 muestra las ordenadas del hidrograma unitario de 2 h, obtenidas sumando las ordenadas de las Cols. 2 y 3, y dividiendo entre 2. La Columna 6 muestra las ordenadas del hidrograma unitario de 3 h, obtenidas sumando las ordenadas de las Cols. 2, 3, y 4, y dividiendo entre 3. La suma de las ordenadas de los tres hidrogramas unitarios es la misma: 4300 m3/s; por lo tanto, el volumen [unitario] es el mismo. El tiempo de base del hidrograma unitario de 1 h es de 12 h, mientras que el de 2 h es 13 h, y el de 3 h es 14 h. Tabla 4  Cambio en la duración de un hidrograma unitario usando el método de superposición. (1) (2) (3) (4) (5) (6) Tiempo (h) HU de 1 h Retardo de 1 h Retardo de 2 h HU de 2 h HU de 3 h 0 0 0 0 0 0 1 100 0 0 50 33 2 200 100 0 150 100 3 400 200 100 300 233 4 800 400 200 600 467 5 700 800 400 750 633 6 600 700 800 650 700 7 500 600 700 550 600 8 400 500 600 450 500 9 300 400 500 350 400 10 200 300 400 250 300 11 100 200 300 150 200 12 0 100 200 50 100 13 0 0 100 0 33 14 0 0 0 0 0 Suma 4300 4300 4299

Ejemplo No. 6. Utilice el hidrograma unitario de 2 h, calculado en el ejemplo anterior (Ejemplo 2), para derivar el hidrograma unitario de 3 h por el método del hidrograma S. Luego utilice este hidrograma unitario de 3 h para derivar el hidrograma unitario de 2 h, confirmando la aplicabilidad del método del hidrograma S, independientemente de la relación entre las duraciones. Los cálculos se muestran en la Tabla 5. La Columna 1 muestra el tiempo en horas. La Columna 2 muestra las ordenadas del hidrograma unitario de 2 h, calculadas en el ejemplo anterior (Tabla 2, Col. 5). La Columna 3 es el hidrograma S de 2 h, obtenido mediante la acumulación de las ordenadas de la Col. 2 a intervalos de X = 2 h. La Columna 4 es el hidrograma S de la Col. 3, con un tiempo de retardo Y = 3 h. La Columna 5 es igual a la Col. 3 menos la Col. 4. La Columna 6 es el producto de la Col. 5 por X/Y = 2/3. La Columna 6 es el hidrograma unitario de 3 h. Su suma es 4299 m3/s, lo mismo que la suma de la Col. 2, confirmando que contiene una unidad de volumen. El tiempo de base del hidrograma unitario de 2 h es 13 h, y el tiempo de base del hidrograma unitario de 3 h es 14 h. La Columna 7 es el hidrograma S de 3 h, obtenido mediante la acumulación de las ordenadas de la Col. 6 a intervalos de X = 3 h. La Columna 8 es el hidrograma S de la Col. 7, con un tiempo de retardo Y = 2 h. La Columna 9 es igual a la Col. 7 menos la Col. 8. La Columna 10 es el producto de la Col. 9 por X/Y = 3/2. La Columna 10 es el hidrograma unitario de 2 h, confirmándose que es el mismo que el de la Col. 2. Tabla 5  Cambio en la duración de un hidrograma unitario usando el método del hidrograma S. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) Tiempo (h) HU de 2 h HS de 2 h Retardo de 3 h Col. 3 - Col. 4 HU de 3 h HS de 3 h Retardo de 2 h Col. 7 - Col. 8 UH de 2 h 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 50 50 0 50 33 33 0 33 50 2 150 150 0 150 100 100 0 100 150 3 300 350 0 350 233 233 33 200 300 4 600 750 50 700 467 500 100 400 600 5 750 1100 150 950 633 733 233 500 750 6 650 1400 350 1050 700 933 500 433 650 7 550 1650 750 900 600 1100 733 367 550 8 450 1850 1100 750 500 1233 933 300 450 9 350 2000 1400 600 400 1333 1100 233 350 10 250 2100 1650 450 300 1400 1233 167 250 11 150 2150 1850 300 200 1433 1333 100 150 12 50 2150 2000 150 100 1433 1400 33 50 13 0 2150 2000 50 33 1433 1433 0 0 14 0 2150 2150 0 0 1433 1433 0 0 Total 4300 4299 4300   CÁLCULO EN LÍNEA. Utilizando la calculadora ONLINE S-HYDROGRAPH con los datos del hidrograma unitario de 2 h (Tabla 5 , Col. 2), se calculan los hidrogramas unitarios de 3 h y 1 h, confirmando la Col. 6 de la Tabla 5 (HU de 3 hr) y la Col. 2 de la Tabla 4 (HU de 1 hr).

2.6.5  Convolución

Mediante la convolución, el hidrograma unitario se usa junto con la tormenta efectiva para calcular el hidrograma de avenida, es decir, el hidrograma aplicable para el diseño del drenaje de carreteras en cuencas medianas. La convolución tiene tres componentes:  (a) linearidad, (b) retraso, y (c) superposición.

Linearidad. Dado un hidrograma unitario (profundidad = 1 cm), se puede obtener un hidrograma para una profundidad K multiplicando las ordenadas del hidrograma unitario por K, como se muestra en la Fig. 20 (a). El tiempo de base se asume constante e independiente de la profundidad.

Fig. 20 (a)  Linearidad en la convolución.

Retardo. El tiempo de base constante de todos los hidrogramas obtenidos mediante linearidad es igual al del hidrograma unitario. Por lo tanto, dado un hietograma de tormenta efectiva, se puede calcular un hidrograma parcial para cada incremento de tormenta, cada uno retrasado un intervalo del anterior, como se muestra en la Fig. 20 (b).

Fig. 20 (b)  Retraso en la convolución.

Superposición. La suma de las ordenadas correspondientes de estos hidrogramas parciales produce el hidrograma compuesto, como se muestra en la Fig. 20 (c).

Fig. 20 (c)  Superposición en la convolución.

El procedimiento completo [Figs. 20 (a), (b) y (c)] se conoce como la convolución del hidrograma unitario con el hietograma de tormenta efectiva, y el resultado es el hidrograma compuesto. El volumen del hidrograma compuesto es igual al volumen total de precipitación efectiva. Dados T_b = tiempo de base del hidrograma unitario de X-h de duración y una tormenta de n intervalos, el tiempo de base del hidrograma compuesto es:  T_bc = T_b - X + nX = T_b + (n - 1)X. El Ejemplo No. 7 ilustra el procedimiento.

Ejemplo No. 7. El siguiente hidrograma unitario de 1-h se aplica a una cuenca de 10 km2: Tiempo (h) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Descarga (m3/s) 0 10 20 40 80 60 40 20 10 0 Una tormenta de 6-h de duración, con un total de 5 cm de precipitación efectiva, cubre toda la cuenca y tiene la siguiente distribución: Tiempo (h) 1 2 3 4 5 6 Precipitación efectiva (cm) 0.1 0.8 1.6 1.2 0.9 0.4 Calcular el hidrograma compuesto utilizando convolución. Solución.   Los cálculos se muestran en la Tabla 6. La Col. 1 muestra el tiempo en horas. La Col. 2 muestra las ordenadas del hidrograma unitario. La Col. 3 muestra el producto de la precipitación de la primera hora (0.1 cm) por las ordenadas del hidrograma unitario. La Col. 4 muestra el producto de la precipitación de la segunda hora (0.8 cm) por las ordenadas del hidrograma unitario, con un retraso de 1 h con respecto a la Col. 3. El patrón de cálculo establecido por las Cols. 3 y 4 se repite para las Cols. 5 a 8. La Columna 9, la suma de las Cols. 3 a 8, es el hidrograma compuesto calculado para el hidrograma unitario (Col. 2) e hietograma de tormenta efectiva dados. Tabla 6   Hidrograma compuesto obtenido por convolución. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) Tiempo (h) UH (m3/s) 0.1 × UH 0.8 × UH 1.6 × UH 1.2 × UH 0.9 × UH 0.4 × UH Hidrograma compuesto (m3/s) 0 0 0 __ __ __ __ __ 0 1 10 1 0 __ __ __ __ 1 2 20 2 8 0 __ __ __ 10 3 40 4 16 16 0 __ __ 36 4 80 8 32 32 12 0 __ 84 5 60 6 64 64 24 9 0 167 6 40 4 48 128 48 18 4 250 7 20 2 32 96 96 36 8 270 8 10 1 16 64 72 72 16 241 9 0 0 8 32 48 54 32 174 10 __ __ 0 16 24 36 24 100 11 __ __ __ 0 12 18 16 46 12 __ __ __ __ 0 9 8 17 13 __ __ __ __ __ 0 4 4 14 __ __ __ __ __ __ 0 0 Total 280 1 400 La suma de la Col. 2 es 280 m3/s y es equivalente a 1 cm de precipitación efectiva. La suma de la Col. 9 es 1 400 m3/s y es equivalente a 5 cm de precipitación efectiva. El tiempo de base del hidrograma compuesto es: Tbc = 9 + [(6 - 1) × 1] = 14 h.   CÁLCULO EN LÍNEA.  Usando el calculador ONLINE CONVOLUTION, con CN = 100, pues el hietograma dado es de precipitación efectiva, el hidrograma compuesto calculado es el mismo de aquél mostrado en la Col. 9 de la Tabla 6.

2.6.6  Resumen

Los siguientes pasos son necesarios para determinar el hidrograma de avenidas de una cuenca mediana:

Determinación de la intensidad y duración de la tormenta de diseño en el caso de cuencas pequeñas; o, alternativamente, la profundidad y duración en el caso de cuencas medianas [Sección 2.3.1]. Determinación del hietograma de la tormenta de diseño, en intervalos de Y  horas [Sección 2.3.2]. Estimación del número de la curva CN aplicable a las condiciones hidrológicas de la cuenca [Sección 2.5; Ejemplo No. 2]. Utilizando el número de la curva CN, determinación del hietograma de la tormenta efectiva [Sección 2.5; Ejemplo No. 3]. Cálculo del hidrograma unitario de X horas de duración aplicable para la cuenca dada [Sección 2.6.2 ó 2.6.3; Ejemplo No. 4]. Confirmación de que X = Y. De no ser así, cambiar la duración inicial del hidrograma unitario, de tal manera que la duración final del hidrograma unitario sea igual a Y  horas [Sección 2.6.4; Ejemplo No. 5 ó 6]. Convolución del hidrograma unitario con el hietograma de la tormenta efectiva para calcular el hidrograma compuesto, es decir, el hidrograma de la avenida de diseño [Sección 2.6.5; Ejemplo No. 7].

2.7  Métodos estadísticos

Los métodos estadísticos se utilizan en el análisis de cuencas medianas y grandes, cuando existen datos de descarga medidos en una estación de aforos. La precisión de los resultados depende de la longitud de la serie de descargas máximas. Por ejemplo, para asegurar la confiabilidad de una avenida de 50 años de período de retorno, calculada con métodos estadísticos, se requiere que la longitud del registro sea de por lo menos de 25 a 50 años.

Cabe anotar que debido al cambio climático, la confiabilidad del análisis estadístico se ha visto reducida en los últimos años en forma considerable. Por lo tanto, esta realidad debe ser tomada en cuenta en el análisis.

La frecuencia de avenidas se refiere al uso de análisis de frecuencia para el cálculo de avenidas de diseño. A través del último siglo, se han desarrollado varias distribuciones estadísticas para el análisis de frecuencia (Ponce, 2014). En la práctica, los métodos más usados son los métodos de Gumbel y Log Pearson Tipo III. La aplicación de estos métodos requiere la seleccion previa de la serie de descargas máximas, o descargas pico.

2.7.1  Selección de la serie de descargas máximas

El registro completo de los caudales en una estación de aforo se denomina la serie completa. Para el análisis de frecuencia de avenidas, es necesario seleccionar una serie de avenidas, es decir, una muestra de los eventos de avenidas extraídos de la serie completa.

Existen dos tipos de series de avenidas: (1) la serie de duración parcial, y (2) la serie de valores extremos. La serie de duración parcial consta de avenidas cuya magnitud es mayor que un valor base elegido. Cuando el valor base es tal que el número de eventos de la serie es igual al número de años de registro, la serie se denomina serie de excedencia anual.

En la serie de valores extremos, cada año de registro contribuye con un valor a la serie, ya sea el valor máximo (en el caso del análisis de avenidas), o el valor mínimo (en el caso del análisis de la permanencia de flujos bajos). El primero es la serie máxima anual; el segundo es la serie mínima anual.

La serie de excedencia anual tiene en cuenta todos los eventos extremos por encima de un cierto valor base, independientemente del momento en que ocurrieron. Por el contrario, la serie máxima anual considera sólo un evento extremo por cada año de registro. La diferencia entre estas dos series es más marcada para los registros cortos, en los que los segundos eventos anuales mayores pueden influir fuertemente en el carácter de la serie de excedencia anual. En la práctica, la serie de excedencia anual se usa para el análisis de frecuencia con períodos de retorno cortos, de 2 a 10 años. Para períodos de retorno más largos, la diferencia entre las series de excedencia anual y máxima anual es pequeña. La serie máxima anual se utiliza para períodos de retorno mayores de 10 años.

2.7.2  Método de Gumbel

La distribución de valor extremo Tipo I, conocido como el método de Gumbel, ha sido ampliamente utilizado a nivel global (Gumbel, 1958). El método es un caso especial (EV1) de la distribución GEV de tres parámetros (Flood Studies Report, 1975).

La probabilidad acumulativa del método de Gumbel es:

F(x) = e -e -y

(38)

en la cual F(x) = probabilidad de no excedencia, e y = variable de Gumbel. En el análisis de frecuencia de avenidas, la probabilidad de interés es la probabilidad de excedencia, es decir, la probabilidad complementaria a F(x):

G(x ) = 1 - F(x )

(39)

El período de retorno T es el recíproco de la probabilidad de excedencia [T = G ^-1 = P ^-1]. Por lo tanto:

1 _____ = 1 - e -e -y   T

(40)

Resolviendo para y:

T y = - ln ln  _______                   T - 1

(41)

La fórmula de frecuencia es:

x = x̄ + K s

(42)

en la cual x = variable de análisis; x̄ = media de x; s = desviación estándar de x; y K = factor de frecuencia. Este último se evalúa aplicando la fórmula de frecuencia a la variable de Gumbel (y):

y = ȳn + K σn

(43)

en la cual ȳ_n y σ_n son la media y la desviación estándar de la variable de Gumbel, respectivamente (ver Tabla A-1).

Reemplazando la Ec. 43 en la Ec. 42:

y  -  ȳn x = x̄  +  __________ s                       σn

(44)

Reemplazando la Ec. 41 en la Ec. 44:

ln ln [T / (T - 1)]  +  ȳn x = x̄  -  _________________________ s                                   σn

(45)

La aplicación del método de Gumbel consiste de los siguientes pasos: Selección de la serie de avenidas, con longitud de registro n. Cálculo de la media x̄  y la desviación estándar s de la serie de avenidas. Determinación de la media ȳn y la desviación estándar σn  de la variable de Gumbel utilizando la Tabla A-1. Selección de varios períodos de retorno Tj  y sus correspondientes probabilidades de excedencia Pj. Cálculo de la descarga de avenida Qj para cada período de retorno Tj utilizando la Ec. 45.

Los valores de Q vs T (o P) se grafican en un papel de probabilidad de Gumbel y se traza una línea recta a través de los puntos. El papel de probabilidad de Gumbel muestra la variable de Gumbel (y) en las abscisas y la descarga de avenida (Q) en las ordenadas. Para facilitar la lectura de los períodos de retorno y sus correspondientes probabilidades (frecuencias), la Eq. 40 se utiliza para superponer una escala de período de retorno (T) y otra de probabilidad (P) en las abscisas.

Ejemplo No. 8. Aplicar el método de Gumbel a la siguiente serie de descargas máximas anuales, con n = 16: Año 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 Descarga (m3/s) 2 520 1 850 750 1 100 1 380 1 910 3 170 1 200 Año 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 1987 Descarga (m3/s) 820 690 1 240 1 730 1 950 2 160 3 320 1 480 Solución.  La media y la desviación estándar son, respectivamente: x̄ = 1704 m3/s y s = 795 m3/s. De la Tabla A-1, para n = 16, la media y la desviación estándar de la variable de Gumbel son, respectivamente: ȳn = 0.5157 y σn = 1.0316. La Tabla 7 resume los resultados. Las Cols. 1 y 2 muestran, respectivamente, los períodos de retorno seleccionados y sus correspondientes probabilidades de excedencia. La Col. 3 muestra los valores de la variable de Gumbel calculados utilizando la Ec. 41. La Col. 4 muestra las descargas de avenida calculadas utilizando la Ec. 45. Las descargas de avenida versus los períodos de retorno dibujan a lo largo de una línea recta (Fig. 21).  Tabla 7  Aplicación del método de Gumbel. (1) (2) (3) (4) Período de retorno T (años) Probabilidad P (%) Variable de Gumbel y Descarga de avenida Q (m3/s) 1.05 95 - 1.113 449 1.11 90 - 0.838 661 1.25 80 - 0.476 940 2 50 0.367 1590 5 20 1.500 2462 10 10 2.250 3040 25 4 3.199 3772 50 2 3.902 4314 100 1 4.600 4851 200 0.5 5.296 5388 Fig. 21   Análisis de frecuencia de avenidas por el método de Gumbel.   CÁLCULO EN LÍNEA.   Utilizando EN LÍNEA GUMBEL, se obtienen los resultados mostrados en la tabla que sigue, confirmándose que son prácticamente los mismos de la Tabla 7.

2.7.3  Método de Log Pearson Tipo III

El método de Log Pearson Tipo III es usado a nivel global para el análisis de frecuencia de avenidas. El método ha sido recomendado por el Boletín 17B del Comité Consultivo Intergubernamental de Registros de Agua de los EE.UU. (U.S. Interagency Advisory Committee on Water Data, 1983).

La aplicación del método Log Pearson Tipo III consiste de los siguientes pasos: Selección de la serie de descargas máximas anuales xi, con período de registro n. Cálculo de la serie de logaritmos yi : yi = log xi (46) Cálculo de la media ȳ, desviación estándar sy, y coeficiente de asimetría Csy  de la serie de logaritmos yi . Cálculo de los logaritmos de las descargas de avenida log Qj, para varios niveles de probabilidad seleccionados Pj, utilizando la fórmula de frecuencia: log Qj = ȳ + Kj sy (47) En esta ecuación (Ec. 47), el factor de frecuencia Kj es función de la probabilidad Pj y el coeficiente de asimetría Csy (Tabla A-2). Cálculo de la descargas de avenida Qj para cada nivel de probabilidad Pj (o período de retorno Tj  correspondiente) tomando los antilogaritmos: Qj = log-1 (log Qj) (48) Representación gráfica de las descargas de avenida Qj versus las probabilidades Pj en papel logarítmico de probabilidades, con las descargas en la escala logarítmica y las probabilidades en la escala de probabilidades. El resultado del método Log Pearson Tipo III se obtiene uniendo los puntos así obtenidos mediante una curva suave. En el caso especial de Csy = 0, la curva se reduce a una línea recta. La Tabla A-2 muestra los factores de frecuencia K para diez (10) niveles de probabilidad seleccionados en el intervalo de 0.5 a 95 por ciento (con períodos de retorno correspondientes de 200 a 1.05 años) y coeficientes de asimetría en el rango de -3.0 ≤ Csy ≤ 3.0.

Ejemplo No. 9. Aplicar el método de Log Pearson Tipo III a la serie de descargas máximas del Ejemplo No. 8 (método de Gumbel). Solución. Se toman los logaritmos de la serie de descargas máximas, y se calculan la media, desviación estándar y coeficiente de asimetría de la serie de logaritmos: ȳ = 3.187, sy = 0.207, y Csy = - 0.116. La Tabla 8 resume los resultados. La Col. 1 muestra los períodos de retorno seleccionados. La Col. 2 muestra las probabilidades de excedencia correspondientes en porcentaje. La Col. 3 muestra los factores de frecuencia K, para Csy = - 0.116 y para cada período de retorno y probabilidad de excedencia. Los valores de la Col. 3 se obtienen de la Tabla A-2 mediante interpolación lineal. La Col. 4 muestra los logaritmos de las descargas de avenida calculados por la Ec. 47. La Col. 5 muestra las descargas de avenida calculadas por la Ec. 48. Las descargas de avenida versus las probabilidades de excedencia correspondientes plotean a lo largo de una curva (o una línea recta en el caso especial de Csy = 0) (Fig. 22).  Tabla 8  Aplicación del método Log Pearson Tipo III. (1) (2) (3) (4) (5) Período de retornoT (años) Probabilidad P (%) Factor de frecuencia K (Csy = - 0.116) yi = log Q Q (m3/s) 1.05 95 -1.677 2.840 692 1.11 90 -1.293 2.919 830 1.25 80 -0.835 3.014 1033 2 50 0.019 3.191 1552 5 20 0.847 3.362 2301 10 10 1.268 3.449 2812 25 4 1.710 3.541 3475 50 2 1.991 3.599 3972 100 1 2.240 3.651 4477 200 0.5 2.467 3.698 4989 Fig. 22  Analisis de frecuencia de avenidas por el método de Log Pearson Tipo III.   CÁLCULO EN LÍNEA. Utilizando EN LÍNEA PEARSON, se obtienen los resultados mostrados en la tabla que sigue, confirmándose que son prácticamente los mismos de la Tabla 8.

Comparación de métodos. Se observa que los resultados de la aplicación de los métodos de Gumbel (Tabla 7) y Log Pearson Tipo III (Tabla 8) a la misma serie de avenidas son comparables, mas no iguales. Por lo tanto, el analista debe ejercitar su juicio y usar su experiencia para determinar el valor de descarga más apropiado para el diseño.

2.8  Métodos regionales

El análisis regional comprende el estudio de fenómenos hidrológicos con el fin de desarrollar relaciones matemáticas que puedan ser aplicadas en un contexto regional. El objetivo es permitir que la información existente en cuencas aforadas o de registro largo pueda ser transferida fácilmente a cuencas no aforadas o de series de registros cortos, con características hidrológicas similares.

En el caso de flujos de avenida, el objetivo del análisis regional es relacionar la descarga pico de una frecuencia dada con parámetros descriptivos de la cuenca, tales como: (a) área de drenaje, (b) precipitación media anual, y (c) elevación media de la cuenca. Siguiendo este procedimiento, el Servicio Geológico de los EE.UU. (USGS por sus siglas en Inglés) ha desarrollado a través de las últimas décadas las llamadas Ecuaciones de Estados, las cuales relacionan, para cada estado de la unión, las descargas pico con parámetros descriptivos de la cuenca. Por ejemplo, para California, la Ecuación del Estado USGS es la siguiente:

QT = a A b P c E d

(49)

en la cual Q_T = descarga pico correspondiente al período de retorno T, a la salida de la cuenca; A = área de drenaje; P = precipitación media anual; y E = elevación media.

A pesar de su popularidad y uso extensivo, la confiabilidad de las Ecuaciones de Estado USGS no está claramente establecida. Por ejemplo, en el caso de California, la primera versión de las ecuaciones, publicada en el año 1977, ha sido recientemente (2012) reemplazada por un nuevo grupo de ecuaciones, con mayor cantidad de datos y, por consiguiente, supuestamente de mayor confiabilidad. Sin embargo, la diferencia entre las dos versiones puede ser marcada; ver Ejemplo No. 10.

En general, el análisis regional se recomienda para uso en drenaje de carreteras para proyectos preliminares, o en los casos en que la ausencia de datos dificulta una evaluación más detallada.

Ejemplo No. 10. Calcular la descarga pico Q100 aplicable a una cuenca en el condado de San Diego, California, EE.UU., con los siguientes datos:  Área de drenaje A = 182 km2, precipitación media anual P = 22 cm; elevación media E = 220 m. Usar las ecuaciones de 1977 y 2012 para comparación.   CÁLCULO EN LÍNEA. Usando el calculador ONLINE USGS FLOODS CALIFORNIA, en la Región 5 (Costa Sur), correspondiente a San Diego, la descarga pico es: Q100 = 1 148.59 m3/s para 1977, y Q100 = 1 368.14 m3/s para 2012, lo cual representa una diferencia de 19%.

2.9  Modelación del escurrimiento

En cuencas grandes, a menudo es necesario modelar separadamente todos los componentes del proceso, incluyendo precipitación, abstracciones hidrológicas, transformación hietograma efectivo-escurrimiento, y flujo en corrientes, ríos, y embalses. De considerarse necesario, la técnica de modelación puede ser aplicada a cualquier cuenca, independientemente de la escala. El procedimiento consiste de los siguientes pasos:

1. Determinación del área de la cuenca;

2. Identificación de la red de drenaje;

3. División de la cuenca en varias subcuencas;

4. Generación del hidrograma de avenida a la salida de cada subcuenca;

5. Tránsito de los hidrogramas a través de la red de drenaje;

6. Combinación de los hidrogramas de las subcuencas, en el tiempo y en el espacio; y

7. Cálculo del hidrograma de avenida en el punto de interés.

La modelación comprende los siguientes pasos:

1. Selección de la tormenta total [Sección 2.3.1];

2. Para cada subcuenca, abstracción de la tormenta total con el fin de calcular la tormenta efectiva [Sección 2.5];

3. Para cada subcuenca, transformación del hietograma efectivo en el hidrograma de avenidas [Sección 2.6];

4. Tránsito de los flujos de avenida en las corrientes, ríos, y embalses;

5. En el caso de corrientes efímeras ubicadas en zonas superáridas, la abstracción en las corrientes, es decir, el cálculo de las pérdidas por infiltración durante el paso del flujo.

En el paso No. 3, la transformación hietograma/hidrograma puede hacerse de dos maneras:

• Método conjunto:  Convolución del hietograma efectivo con el hidrograma unitario, lo cual genera un solo hidrograma a la salida de la cuenca (Sección 2.6.5); y

• Método distribuido:  Modelación con libro abierto (Fig. 11) y ondas cinemáticas o difusivas, con la cual se puede generar hidrogramas en varios puntos de la cuenca (Sección 2.2.2).

En el paso No. 4, el tránsito de avenidas a través de corrientes se puede hacer con uno de varios métodos, entre otros:

1. Ondas cinemáticas (Sección 2.2.2);

2. Ondas difusivas (Sección 2.2.2);

3. Muskingum; y

4. Muskingum-Cunge.

El método Muskingum calcula el tránsito de avenidas usando una ecuación empírica que relaciona el almacenamiento S (volumen) del tramo de canal o río con dos parámetros: K = tiempo de tránsito, y X = factor de ponderación (Chow, 1959). El método Muskingum-Cunge simula la onda difusiva igualando: (a) las celeridades analíticas y numéricas, y (b) las difusividades analíticas y numéricas, de la ecuación de conveccion-difusión de la descarga o caudal de avenida (Cunge, 1969; Ponce, 2014).

En la práctica, la modelación del escurrimiento en cuencas se hace con modelos hidrológicos establecidos a través de los años. El modelo más utilizado es el HEC-HMS, desarrollado por el Cuerpo de Ingenieros del Ejército de los EE.UU. (U.S. Army Corps of Engineers, 2017). El uso de modelos requiere un conocimiento especializado de hidrología.

3.  HIDRÁULICA

[ Bibliografía ]  •  [ Arriba ]  [ Introducción ]  [ Hidrología ]

3.1  Flujo en canales abiertos

El flujo en quebradas, corrientes, ríos, y canaletas de drenaje es de superficie libre y, por lo tanto, está sujeto a la presión atmosférica, denominándose también flujo en canales abiertos (Fig. 23). La elevación de la superficie libre usualmente varía en el espacio y en el tiempo. Cuando la elevación varía en el espacio, se conoce como flujo variado; cuando varía en el tiempo, se conoce como flujo no permanente.

Fig. 23  Río Moyán, Lambayeque, Perú.

La profundidad de flujo medida sobre el fondo del cauce o canal define la elevación de la superficie del agua. La carga total de la línea de energía incluye la carga de velocidad h_v = V ²/(2g). La pérdida de carga, o pérdida de carga por fricción, de la Sección 1 a la Sección 2 es h_f (Fig. 24).

Fig. 24  Esquema del flujo en canal abierto.

Existen dos tipos de secciones transversales:

1. Prismática, y

2. No prismática.

Los canales artificiales son por lo general prismáticos, de forma y tamaño constantes a lo largo de gran parte de la longitud del canal. Por el contrario, generalmente los canales naturales son no prismáticos, es decir, la forma y tamaño de la sección transversal varían a lo largo del canal.

Las siguientes propiedades geométricas e hidráulicas describen un canal o cauce (Fig. 25):

• Flujo, caudal, o descarga Q,

• Área hidráulica de la sección transversal A,

• Velocidad media V, en la cual V = Q /A,

• Perímetro mojado P,

• Ancho de la superficie libre T,

• Radio hidráulico R, en el cual R = A /P,

• Profundidad hidráulica D, en la cual D = A /T,

• Ancho del fondo B,

• Elevación del fondo z,

• Tirante o profundidad d,

• Altura total o elevación de la superficie libre, en la cual y = z + d.

Fig. 25  Propiedades geométricas e hidráulicas de un canal o cauce.

En las secciones prismáticas, el tirante d generalmente se describe como y, particularmente cuando no se puede confundir con la elevación de la superficie libre (sobre el nivel de referencia). Además, el talud del canal se describe como z H: 1 V, particularmente cuando no se puede confundir con la elevación del fondo del canal.

El flujo en canales abiertos se puede clasificar como sigue:

• Uniforme o en equilibrio.

• Gradualmente variado o rápidamente variado.

• Permanente o no permanente.

• Espacialmente variado.

El flujo es uniforme cuando el canal es prismático y las variables hidráulicas (Q, A, V, d, etc.) son constantes en el tiempo y en el espacio. El flujo está en equilibrio cuando el canal no es prismático y las variables hidráulicas son aproximadamente constantes en el tiempo y el espacio. El cálculo del flujo uniforme es relativamente sencillo en comparación con el de otros estados de flujo.

El flujo es gradualmente variado cuando la descarga Q es constante pero las otras variables hidráulicas (A, V, d, etc.) varían gradualmente en el espacio. En el flujo gradualmente variado, la distribución de presiones en la dirección vertical, normal al flujo, es aproximadamente igual a la hidrostática, es decir, es proporcional a la profundidad de flujo.

El flujo es rápidamente variado cuando la descarga es constante pero las otras variables hidráulicas (A, V, d, etc.) varían rápidamente en el espacio. Por lo tanto, no es posible asumir que la presión es hidrostática en la dirección vertical. El cálculo del flujo gradualmente variado es complicado pero factible, mientras que el cálculo del flujo rápidamente variado es generalmente más complejo, y está basado en fórmulas empíricas, en ausencia de una solución teórica.

El flujo es permanente cuando las variables hidráulicas (flujo, área de flujo, velocidad media, profundidad del flujo, etc.) no varían con el tiempo. Por el contrario, el flujo es no permanente cuando las variables hidráulicas varían con el tiempo y el espacio. El flujo permanente es relativamente más sencillo de calcular que el flujo no permanente.

El flujo es espacialmente variado cuando la descarga Q varía en el espacio solamente, es decir, a lo largo del canal. Generalmente, dicha variación se debe a la entrada o salida lateral de flujo.

El flujo permanente gradualmente variado comprende los perfiles de la superficie del agua, a los cuales se les conoce como curvas de remanso. El flujo no permanente gradualmente variado está representado por los flujos de inundación, o tránsito de avenidas.

El flujo permanente rápidamente variado comprende el flujo sobre vertederos y el resalto hidráulico. El flujo no permanente rápidamente variado está representado por el resalto hidráulico en movimiento y las ondas de rollo en canales de pendiente alta.

3.2  Estado de flujo

El estado de flujo puede ser descrito en base a ciertas velocidades y viscosidades características. La velocidad es la relación de la longitud (distancia) sobre el tiempo, expresada en unidades L T ^-1. La viscosidad es el primer momento de la velocidad, con unidades L² T ^-1. En la hidráulica de canales abiertos, el término difusividad se utiliza como sinónimo de viscosidad.

Dos relaciones de velocidad y dos de difusividad completan la caracterización del flujo en canales. Las relaciones de velocidad dan lugar a los números de Froude y Vedernikov; las relaciones de difusividad dan lugar a los números de Reynolds y de onda adimensional.

3.2.1  Relaciones de velocidad

Existen tres velocidades características en el flujo en canales:

1. La velocidad media u del flujo uniforme;

2. La velocidad, o celeridad c_k de la onda cinemática; y

3. La velocidad, o celeridad (en realidad, dos celeridades) c_d de la onda dinámica.

La velocidad media del flujo uniforme se define con la ecuación de Manning (unidades SI):

1 u  =  _____ R 2/3 S 1/2            n

(50)

en la cual n = coeficiente de fricción de Manning, R = radio hidráulico, y S = pendiente de fricción.

Alternativamente, con la ecuación de Chezy, la velocidad media es:

u  =  C R 1/2 S 1/2

(51)

en la cual C = coeficiente de Chezy.

El volumen de control del flujo en canales está sujeto a la acción de cuatro fuerzas: (1) fricción, (2) gravedad, (3) gradiente de presiones (o profundidades de flujo), e (4) inercia. Las ondas cinemáticas son aquéllas en las cuales el balance de la cantidad de movimiento es expresado solamente en base a las fuerzas de fricción y gravedad (Lighthill y Whitham, 1955).

La celeridad de la onda cinemática, o celeridad de Seddon, es (Seddon, 1900; Ponce, 2015):

ck  =  β u

(52)

en la cual β = exponente de la relación entre descarga y área de flujo:

Q = α Aβ

(53)

Las ondas dinámicas son aquéllas para las cuales el balance de la cantidad de movimiento se define solamente en base a las fuerzas de inercia y el gradiente de presiones. La celeridad de la onda dinámica es:

cd  =  u  ±  (g D )1/2

(54)

en la cual g = aceleración de la gravedad, y D = profundidad hidráulica, D = A /T.

De la Ec. 52, la celeridad relativa de la onda cinemática es:

v  =  (β - 1) u

(55)

De la Ec. 54, el valor absoluto de la celeridad relativa de la onda dinámica es:

w  =  (g D )1/2

(56)

En canales rectangulares, para los cuales D = d, o en canales hidráulicamente anchos, para los cuales D ≅ d, y d = y  para canales prismáticos, la celeridad relativa de la onda dinámica es:

w  =  (g d )1/2  =  (g y )1/2

(57)

La Ec. 57 es la celeridad relativa de Lagrange, en honor a Lagrange (1788), quien fue el primero en derivarla.

Las tres velocidades u, v, y w conducen a dos relaciones independientes de velocidad, los números de Froude y Vedernikov. El número de Froude se define como sigue (Chow, 1959):

u F  =  _____            w

(58)

El número de Froude clasifica al flujo en:

• F < 1:  Flujo subcrítico, para u < w,

• F = 1:  Flujo crítico, para u = w,

• F > 1:  Flujo supercrítico, para u > w.

En el flujo subcrítico, las ondas superficiales (perturbaciones) pueden trasladarse aguas arriba, ya que la celeridad -w es mayor que la velocidad media del flujo u.

En el flujo crítico, las ondas superficiales (perturbaciones) permanecen estacionarias, ya que su celeridad (absoluta) w es igual a la velocidad media del flujo u.

En el flujo supercrítico, las ondas de superficiales (perturbaciones) pueden trasladarse únicamente aguas abajo, debido a que su celeridad -w es menor que la velocidad media del flujo u.

El número de Vedernikov se define como sigue (Vedernikov, 1945; 1946; Powell, 1948; Craya, 1952):

v V  =  _____            w

(59)

El número de Vedernikov clasifica al flujo en:

• V < 1:  Flujo estable, para v < w,

• V = 1:  Flujo neutralmente estable, para v = w,

• V > 1:  Flujo inestable, para v > w.

En el flujo estable, la celeridad relativa de la onda cinemática v es menor que la celeridad relativa de la onda dinámica w; por lo tanto, las ondas superficiales (perturbaciones) tienen la capacidad de disiparse.

En el flujo neutralmente estable, la celeridad relativa de la onda cinemática v es igual a la celeridad relativa de la onda dinámica w; por lo tanto, las ondas superficiales (perturbaciones) no se atenúan ni se amplifican. La amplificación y la disipación se cancelan mutuamente.

En el flujo inestable, la celeridad relativa de la onda cinemática v es mayor que la celeridad relativa de la onda dinámica w. Por lo tanto, las ondas superficiales (perturbaciones) tienden a amplificarse. En la práctica, la condición V ≥ 1 conduce al desarrollo de las ondas de rollo, un tren de ondas que se traslada aguas abajo, en canales de pendiente pronunciada (Cornish, 1907) (Fig. 26).

Cornish Fig. 26  Ondas de rollo en un canal en los Alpes suizos.

La tercera relación, dependiente de las otras dos, es:

v            V β - 1  =  _____  =  _____                 u            F

(60)

en la cual β - 1 es la celeridad relativa adimensional de la onda cinemática. Por lo tanto, el exponente β de la Ec. 53 es una función de ambos números: el de Froude y el de Vedernikov.

El valor de β varía con el régimen de fricción (laminar, transicional, o turbulento, y Manning o Chezy) y con la forma de la sección transversal. En el flujo laminar, β = 3. En el flujo turbulento con la fricción de Manning: 1 ≤ β ≤ 5/3, dependiendo de la forma de la sección transversal. En el flujo turbulento con la fricción de Chezy: 1 ≤ β ≤ 3/2, dependiendo de la forma de la sección transversal.

En la hidráulica de canales existen tres tipos asintóticos de secciones transversales:

1. El canal hidráulicamente ancho, para el cual el perímetro mojado P es una constante (Ponce y Porras, 1995). En este caso, β = 5/3 con la fricción de Manning, y β = 3/2 con la fricción de Chezy. Una sección transversal es considerada hidráulicamente ancha cuando la relación entre el ancho de superficie y el tirante T/d es mayor que 10. En la práctica, la mayoría de los canales naturales son hidráulicamente anchos (Fig. 27).
   

   Nuccitelli Fig. 27  Río Mississippi en Mud Island, Memphis, Tennessee, EE.UU.

2. El canal triangular, para el cual el ancho de superficie T es proporcional al tirante d (Fig. 28). Con la fricción de Manning, β = 4/3, y con la fricción de Chezy, β = 5/4. El drenaje de carreteras (canaletas) con frecuencia se hace con secciones transversales triangulares.

   Fig. 28  Definición de una sección transversal triangular.

3. El canal inherentemente estable, para el cual el radio hidráulico R es una constante (Ponce y Porras, 1995). En este caso, β ≡ 1 (Fig. 29).

   Fig. 29   Una sección transversal inherentemente estable.

Para la estabilidad neutral, el número de Vedernikov V = 1. Por lo tanto, de acuerdo con la Ec. 60, el número de Froude correspondiente al flujo neutralmente estable es:

1 Fns  =  ________               β - 1

(61)

La Tabla 9 muestra los valores de F_ns para diversos valores de β. Se observa que cuando β varía de 3 (flujo laminar) a 1 (sección inherentemente estable), los valores de F_ns varían de F_ns = 1/2 a F_ns = ∞. En otras palabras, cuando β ⇒ 1, F_ns ⇒ ∞.

En la práctica, el valor de fricción tiene un límite inferior. Por lo tanto, el número de Froude tiene un limite superior, aproximadamente F ≅ 25. Así, en la mayoría de los casos, un valor de β = 1.04 ya sería estable para propósitos prácticos.

La Tabla 9 indica que los valores de β para canales y para flujo laminar están limitados en el rango 1 ≤ β ≤ 3. Sin embargo, para una alcantarilla circular que fluye casi llena, β puede llegar a alcanzar valores un poco menores que 1 (Chow, 1959).

Ejemplo No. 11. Asumiendo un canal hidráulicamente ancho, calcular los números de Froude y Vedernikov, dados: velocidad media u = 1 m/s; profundidad hidráulica D = 2 m; y exponente de la curva de gasto β = 1.6.   CÁLCULO EN LÍNEA. Usando el calculador ENLINEA FROUDE: F = 0.226. Asimismo, usando el calculador ENLINEA VEDERNIKOV: V = 0.135.

3.2.2  Relaciones de viscosidad

Existen tres clases o tipos de viscosidad en el flujo en canales abiertos:

1. La viscosidad interna, o viscosidad cinemática ν del fluído,

2. La viscosidad externa (o difusividad hidráulica ν_h) del flujo permanente; y

3. La viscosidad externa (o difusividad de onda ν_w) del flujo no permanente.

La viscosidad cinemática ν del fluido varía en función de la temperatura (Tabla A-3).

El concepto de difusividad hidráulica ν_h se debe a Hayami (1951). Hayami combinó las ecuaciones que gobiernan el comportamiento del flujo en canales abiertos, obteniendo una ecuación de convección-difusión, es decir, una ecuación que describe la convección (un proceso de primer orden) y la difusión (un proceso de segundo orden) de una onda de avenida. La difusividad hidráulica se define como sigue:

qo νh  =  _______             2 So

(62)

en la cual q_o = descarga de equilibrio, por unidad de ancho, y S_o = pendiente de fricción (pendiente de la línea de energía).

La Ec. 62 se expresa en términos de la velocidad y la profundidad del flujo como sigue:

uo do νh  =  _________               2 So

(63)

Una variable relacionada con la difusividad, pero independiente de la pendiente, es:

νh'  =   uo do

(64)

Por lo general, para cualquier forma de sección transversal:

νh'  =   uo Ro

(65)

en la cual R_o = radio hidráulico.

En la teoría de la onda cinemática, la longitud característica de tramo se define de la siguiente manera (Lighthill y Whitham, 1955):

do Lo  =  ______              So

(66)

en la cual L_o es la longitud del canal en la cual el flujo de equilibrio tiene una pérdida de carga (caída) igual a su profundidad. Por lo tanto, en términos de la longitud característica de tramo, la difusividad hidráulica es:

uo Lo νh  =  _______               2

(67)

De manera semejante a la difusividad hidráulica, la difusividad de onda se define de la manera siguiente:

uo L νw  =  _______              4 π

(68)

en la cual L = longitud de onda.

El número de Reynolds R es (Chow, 1959):

vh'           uo Ro R  =  ______  =  ________             ν                ν

(69)

El número de Reynolds R clasifica al flujo en:

1. Laminar,

2. Transicional, o

3. Turbulento.

Bajo flujo permanente, el flujo laminar está representado por R ≤ 500 y el flujo turbulento con R > 2000. El flujo de transición comprende el rango intermedio: 500 < R ≤ 2000. Bajo flujo no permanente, el flujo laminar-turbulento mixto que se muestra en la Tabla 9 es similar al flujo transicional, por lo que muestra un rango comparable en el número de Reynolds.

En la práctica, la mayoría de los casos de flujo en canales se encuentran sujetos a un régimen turbulento. Por el contrario, la mayoría de los casos de flujo en planos de superficie libre se encuentran bajo régimen laminar o laminar-turbulento mixto.

El número de onda adimensional σ se define como sigue (Ponce y Simons, 1977):

νh           2 π σ  =  ______  =  _____  Lo            νw            L

(70)

El número de onda σ describe la escala adimensional de longitud de onda en términos de: (a) ondas cinemáticas, (b) ondas dinámicas, y (c) ondas cinemáticas-dinámicas mixtas, como se muestra en la Fig. 7, aplicable a la fricción de Chezy en canales hidráulicamente anchos.

Bajo el flujo cinemático, el cual se muestra en el lado izquierdo de la Fig. 7:

• El balance de la cantidad de movimiento se describe en términos de las fuerzas de fricción y de gravedad solamente,

• Prevalece la celeridad relativa de la onda cinemática (Ec. 55), la cual es una constante para todos los números de onda y de Froude, y

• La atenuación de la onda es teóricamente cero.

Bajo el flujo dinámico, el cual se muestra en el lado derecho de la Fig. 7:

• El balance de la cantidad demovimiento se describe en términos de las fuerzas del gradiente de presiones e inercia solamente,

• Prevalece la celeridad relativa de la onda dinámica (Ec. 57), la cual es una constante para todos los números de onda, y variable con el número de Froude, y

• La atenuación de la onda es teóricamente cero.

Bajo el flujo cinemático-dinámico mixto, el cual se muestra hacia el centro de la Fig. 7:

• El balance de la cantidad de movimiento considera las cuatro fuerzas presentes en el flujo transitorio en canales (fricción, gravedad, gradiente de presiones, e inercia),

• No hay celeridad característica, por lo que la onda se encuentra sujeta a una atenuación muy pronunciada dentro del rango medio de números de onda adimensionales, y

• Para cada curva que se muestra en la Fig. 7, el punto de inflexión representa la atenuación máxima (Ponce y Simons, 1977).

La difusividad hidráulica dinámica considera el balance completo de la cantidad de movimiento (Dooge et al., 1982; Ponce, 1991a; 1991b), a diferencia de la difusividad hidráulica cinemática (Ec. 62), la cual no incluye inercia. La difusividad hidráulica dinámica es:

qo νhd  =  ______  (1 - V 2)              2 So

(71)

Para números de Vedernikov bajos, V ⇒ 0, la difusividad hidráulica dinámica se reduce a la difusividad hidráulica cinemática, es decir, a la Ec. 62. Por el contrario, para número de Vedernikov altos, V ⇒ 1, la difusividad hidráulica desaparece por completo. La ausencia total de atenuación es una condición necesaria para la formación de las ondas de rollo (Fig. 26).

3.3  Flujo crítico

El flujo crítico ocurre bajo las siguientes condiciones (Fig. 30):

• Cuando la velocidad de flujo media u es igual a la celeridad relativa w de las perturbaciones superficiales pequeñas, es decir, las ondas dinámicas.

• Cuando la carga de velocidad h_v es igual a la mitad de la profundidad hidráulica D.

• Cuando el número de Froude F  es igual a 1.

Fig. 30  Flujo crítico sobre el vertedero de emergencia, Reservorio Turner, Condado de San Diego, California.

La condición del flujo crítico representa el límite entre el flujo subcrítico, para el cual F < 1, y el flujo supercrítico, para el cual F > 1.

En el flujo de canales, las ondas dinámicas tienen dos componentes: (1) primario, y (2) secundario (Ponce and Simons, 1977). Las ondas primarias viajan con velocidades absolutas:

v1 = u  +  w

(72)

Las ondas secundarias viajan con velocidades absolutas:

v2 = u  -  w

(73)

Mientras que las ondas primarias siempre viajan en dirección aguas abajo, las ondas secundarias pueden viajar en dirección aguas arriba o aguas abajo, dependiendo de las condiciones del flujo. En el flujo subcrítico, w > u, y las ondas secundarias son capaces de viajar en dirección aguas arriba. En el flujo supercrítico, w < u, y las ondas secundarias no pueden viajar en dirección aguas arriba, por lo que siempre viajan aguas abajo. En la práctica, esto significa que el flujo subcrítico es controlado desde aguas abajo, ya que las perturbaciones superficiales son capaces de viajar en dirección aguas arriba. Por el contrario, el flujo supercrítico no puede ser controlado desde aguas abajo, debido a que las perturbaciones superficiales no son capaces de viajar en dirección aguas arriba. El flujo supercrítico siempre es controlado desde aguas arriba.

El flujo crítico puede ocurrir de dos maneras:

1. A lo largo del canal, bajo flujo uniforme, el cual se conoce como flujo uniforme crítico. La pendiente del canal donde se presenta el flujo uniforme crítico se conoce como la pendiente crítica.

2. En una sección transversal específica, bajo el flujo gradualmente variado aguas arriba y aguas abajo, en lo que se conoce como la sección transversal crítica. [En realidad, en la proximidad de la sección transversal del flujo crítico, el flujo puede ser rápidamente variado]. En una sección transversal crítica, la profundidad de flujo se conoce como la profundidad crítica (Fig. 31).

Fig. 31   Flujo crítico sobre un vertedero natural formado después de la degradación del arroyo al lecho rocoso, Aguaje de la Tuna, Tijuana, Baja California, México.

3.3.1  La ecuación de Darcy-Weisbach para el flujo en canales

La ecuación de Darcy-Weisbach es generalmente aplicable al flujo en conducto cerrados (tuberías). Para el flujo en tuberías, la longitud de fricción característica es el diámetro d_o. Para su aplicación al flujo en canales, la longitud de fricción característica es el radio hidráulico R:

A R  =  ______             P

(74)

El área de flujo de un conducto circular cerrado (un tubo que fluye lleno) es A = π (d_o²/4), y el perímetro mojado es P = π d_o. Por lo tanto, el radio hidráulico R es igual a 1/4 del diámetro del tubo; o a la inversa, el diámetro es igual a cuatro (4) veces el radio hidráulico. Por lo tanto, la ecuación de Darcy-Weisbach modificada para flujo en canales es:

L         V 2 hf  =  f  ______   ______                4R        2g

(75)

en la cual f = factor de fricción de Darcy-Weisbach, L = longitud del canal, V = velocidad media del flujo, g = aceleración de la gravedad.

Bajo flujo permanente, la pendiente de la línea de energía en el flujo en canales es la misma que la pendiente de fricción, del lecho o del fondo. La pendiente es:

hf                 V 2           f        V 2 S  =   ______  =  f   _______  =  ___   _______              L                 8gR          8       gR

(76)

Para una sección transversal cualquiera, el número de Froude es:

V F  =  __________            (gD)1/2

(77)

en la cual la profundidad o tirante hidráulico D es:  D = A /T.

La Ecuación 76 se puede expresar en términos del número de Froude de la siguiente manera:

f        D S  =  ___   _____   F 2           8       R

(78)

La Ec. 78 establece la proporcionalidad entre la pendiente de la línea de energía y el número de Froude. El factor de proporcionalidad es función del factor de fricción de Darcy-Weisbach y el factor de forma D/R.

En un canal hidráulicamente ancho, para el cual D ≅ R, la Ec. 78 se reduce a:

f        S  =  ___   F 2           8

(79)

En el caso de un canal hidráulicamente ancho, el factor de proporcionalidad entre la pendiente de la línea de energía y el número de Froude es solamente una función del factor de fricción de Darcy-Weisbach. Por conveniencia, para el flujo en canales se puede utilizar un factor de fricción modificado de Darcy-Weisbach f, igual a 1/8 del factor de fricción convencional. Por lo tanto, la ecuación modificada de Darcy-Weisbach aplicable al flujo en canales es:

S  =  f F 2

(80)

3.3.2  La pendiente crítica

La pendiente crítica es aquélla para la cual F = 1. La Ec. 78 para F = 1 es:

f        D Sc  =  ___   _____             8       R

(81)

en la cual S_c = pendiente crítica. Para un canal hidráulicamente ancho, la Ec. 81 se reduce a:

f         Sc  =  ___               8

(82)

Es decir:

Sc  =  f

(83)

Las Ecuaciones 81 a 83 demuestran que el factor de fricción y la pendiente crítica están muy relacionados. La Ec. 81 se utiliza para canales de sección transversal arbitraria, mientras que la Ec. 82 se utiliza para canales hidráulicamente anchos. La Ec. 83 se utiliza cuando se aplica el factor modificado de fricción Darcy-Weisbach f.

En general:

S  =  Sc F 2

(84)

en la cual S_c  se puede definir por cualquiera de las Ecs. 81, 82, o 83.

La Ecuación 84 es una modificación de la ecuación de Darcy-Weisbach aplicable al flujo en canales. En el flujo uniforme, esta ecuación muestra claramente el concepto de pendiente crítica. En el flujo gradualmente variado, la Ec. 84 permite un mejor entendimiento de los límites asintóticos de las curvas de remanso.

Relación entre la pendiente de fondo, la pendiente crítica, y el número de Froude La pendiente de fondo es directamente proporcional al número de Froude, cuando la constante de proporcionalidad es la pendiente crítica. La pendiente de fondo es directamente proporcional a la pendiente crítica, cuando la constante de proporcionalidad es el número de Froude. La pendiente crítica es inversamente proporcional al número de Froude, cuando la constante de proporcionalidad es la pendiente del fondo.

3.3.3  Ocurrencia del flujo crítico

Tal como indica la Ec. 84, el flujo crítico ocurre cuando la descarga es tal que la pendiente crítica (pendiente de fricción) es igual a la pendiente de fondo. Esto es posible en un canal revestido, donde a medida que aumenta la descarga, la pendiente de fricción disminuye hasta coincidir con la pendiente de fondo. Por lo tanto, en un canal prismático artificial, es posible lograr profundidades de flujo críticas, e inclusive supercríticas. Los flujos supercríticos no son comunes, pero tampoco son imposibles. Por ejemplo, en el caso de la fricción de Chezy en los canales hidráulicamente anchos, las ondas de rollo se forman cuando el número de Vedernikov V = 1, el cual corresponde al número de Froude F = 2.

Lo anterior no ocurre en un canal natural, donde el flujo es capaz de interactuar libremente con los materiales del fondo del canal, lo cual aumenta la pendiente "actual" o la fricción efectiva. En la práctica, la pendiente de fricción no disminuye hasta coincidir con la pendiente de fondo, por lo cual el flujo permanece subcrítico. De acuerdo a Jarrett (1982), es muy raro que se presente el flujo crítico o supercrítico en un canal natural (Fig. 32).

ASCE Fig. 32  El río Arkansas, cerca de Buena Vista, Colorado, con F < 1.

3.3.4  Cálculo del flujo crítico

El cuadrado del número de Froude (Ec. 77) es:

V 2 F 2  =  _______               gD

(85)

Al sustituir V = Q /A y D = A /T  se obtiene:

Q 2 T F 2  =  _______              g A 3

(86)

En el flujo crítico, F = 1, por lo cual la Ec. 86 se puede expresar de la siguiente manera:

Q 2 Tc ________  -  Ac 3  =  0      g

(87)

Con referencia a la Fig. 33, el ancho de superficie T es:

T = b  +  2zy

(88)

El área A del flujo es:

A  =  (b  + x ) y  =  (b  + zy ) y

(89)

Fig. 33  Definición de variables en una sección transversal trapezoidal.

Sustituyendo las Ecs. 88 y 89 en la Ec. 87:

Q 2 (b  +  2zyc) ________________  -  [ (b  + zyc ) yc ] 3  =  0              g

(90)

Dados g = aceleración de la gravedad, y los datos de descarga Q, ancho de fondo b, y pendiente lateral z [z:H a 1:V, Fig. 33], la profundidad crítica y_c se encuentra resolviendo la Ec. 90. Además:

Tc = b  +  2zyc

(91)

Ac = (b  + zyc ) yc

(92)

Ac Dc  =  ______              Tc

(93)

Q Vc  =  ______              Ac

(94)

La Ec. 90 se expresa como sigue:

Q 2 (b  +  2zyc) f (yc)  =  _________________  -  [ (b  + zyc ) yc ] 3                           g

(95)

La Ec. 95 es la fórmula general para el flujo crítico, aplicable a canales trapezoidales. Para un canal rectangular: z = 0, y para un canal triangular de sección simétrica: b = 0.

Con el fin de simplificar la Ec. 95, se hace el cambio de variable x = y_c , obteniéndose:

Q 2 (b  +  2zx) f (x)  =  ________________  -  [ (b  + zx ) x ] 3                          g

(96)

La solución de la Ec. 96 se obtiene mediante un procedimiento iterativo. En el cuadro que sigue se describe un algoritmo utilizado para calcular la primera raíz de la ecuación.

Ejemplo No. 12. Usando CANAL EN LÍNEA 02, calcular la profundidad de flujo crítico para las siguientes condiciones: Q = 10 m3/s; b = 5 m; z = 1.   CÁLCULO EN LÍNEA. Usando la calculadora CANAL EN LÍNEA 02, se obtiene una profundidad crítica de yc = 0.706 m, y una velocidad crítica de vc = 2.483 m/s.

3.3.5  Profundidad crítica en un canal hidráulicamente ancho

Para un canal hidráulicamente ancho, al igual que para un canal rectangular: Q = qb, y z = 0. Sustituyendo estos valores en la Ec. 95, se obtiene una expresión para la profundidad crítica y_c en función solamente de la descarga por unidad de ancho q:

q2 yc  =   ( ____ ) 1/3                g

(96)

3.3.6  Vertederos de cresta ancha

En un vertedero de cresta ancha, el flujo crítico ocurre cerca de la cresta. La descarga por unidad de ancho es:

q  =  Vc yc

(97)

q  =  (gyc)1/2 yc

(98)

q  =  (g)1/2 (yc)3/2

(99)

Por definición, la profundidad crítica es igual a 2/3 de la carga total H medida sobre la cresta del vertedero:

yc  =  (2/3) H

(100)

Sustituyendo la Ec. 100 en la Ec. 99:

q  =  C H 3/2

(101)

en la cual C es un coeficiente de descarga definido como sigue:

C  =  (2/3)3/2 g1/2

(102)

En unidades SI, C = 1.704; y en unidades acostumbradas en EE.UU., C = 3.087.

Por diversas razones, un valor práctico de diseño C_d puede diferir del valor teórico C. La experiencia ha demostrado que el rango aproximado es: 0.8 ≤ C_d /C ≤ 1.3. La Figura 34 muestra un vertedero de cresta ancha para el cual C_d = 1.45 (unidades SI).

En la práctica, H se toma como la elevación de la superficie del agua por encima de la cresta del vertedero. Esto asume que la velocidad de aproximación V_a en una sección localizada suficientemente aguas arriba del vertedero es nula: V_a = 0.

Fig. 34  El vertedero de emergencia del Lago de Conservación Boerasirie, en Guyana, de 2 438 m de coronación, considerado el más largo del mundo.

3.4  Flujo uniforme

El flujo uniforme se presenta únicamente en canales prismáticos. En el flujo uniforme, la profundidad de flujo, el área de flujo, la velocidad media, y la descarga (o caudal) son constantes a lo largo del canal. El término flujo de equilibrio se utiliza para describir la condición de flujo en canales no prismáticos (naturales) de sección transversal no uniforme, el cual es equivalente al flujo uniforme en canales prismáticos.

En el flujo uniforme, todas las pendientes, la pendiente de fricción S_f, la pendiente de energía S_e, la pendiente de la superficie del agua S_w, y la pendiente de fondo S_o, son constantes e iguales:

Sf  =  Se  =  Sw  =  So  =  S

(103)

El flujo uniforme no permanente no existe; si el flujo es no permanente, entonces no es uniforme. Sin embargo, para el número de Vedernikov V = 1, el flujo uniforme se convierte en neutralmente estable, lo cual conduce a las ondas de rollo. Esta condición es la inestabilidad del flujo uniforme descrita por Chow (1959). Cuando V < 1, las perturbaciones del flujo se atenúan y, por consiguiente, las ondas de rollo no se desarrollan.

Desde un punto de vista mecánico, el flujo uniforme ocurre en un volumen de control cuando la fuerza de fricción es igual a la fuerza gravitacional. En ausencia de controles de sección, todos los flujos en canales tienden a ser uniformes; podría decirse que a la Naturaleza le gusta el flujo uniforme.

En el flujo uniforme, la característica única de la curva de gasto, es decir, la singularidad de la relación descarga-área (o descarga-profundidad), lo califica como control. Por lo tanto, el flujo uniforme crítico es un tipo de control muy fuerte.

La profundidad del flujo uniforme se conoce como profundidad normal. La Figura 35 muestra la formación de flujo uniforme en un canal relativamente largo. La figura superior representa el flujo normal subcrítico, con las secciones de control aguas arriba y aguas abajo. La figura central representa el flujo crítico, con las secciones de control aguas arriba y aguas abajo. La figura inferior representa el flujo normal supercrítico, con la sección de control aguas arriba únicamente.

Fig. 35   Formación del flujo uniforme (Chow, 1959).

3.4.1  Fórmula de Chezy

Para derivar la fórmula de Chézy, el esfuerzo cortante τ_b desarrollado a lo largo del fondo del canal se modela con la siguiente ley de fricción cuadrática:

τb  =  ρ f V 2

(104)

en la cual ρ = densidad de la masa, f = factor de fricción, y V = velocidad media. Esta ecuación es adimensional, por lo tanto, tiene una base teórica.

La fuerza de fricción desarrollada a lo largo del perímetro mojado P de un volumen de control de longitud L es (Fig. 36):

Fs  =  τb PL  =  ρ f V 2 PL

(105)

Fig. 36  Volumen de control para el flujo uniforme (Chow, 1959).

El peso del agua contenido en el volumen de control es W. Esta fuerza gravitacional se resuelve a lo largo de la dirección del movimiento de la siguiente manera:

Fg  =  W sin θ

(106)

Para un canal de pendiente pequeña:  sen θ ≅ tan θ = S. Por lo tanto:

Fg  =  W tan θ  =  W S  =  γ A L S

(107)

Igualando las fuerzas de fricción (Ec. 105) y gravitacional (Ec. 107):

ρ f V 2 P  =  γ A S

(108)

lo cual se reduce a:

f V 2  =  g (A /P ) S  =  g R S

(109)

en la cual R = radio hidráulico.

Resolviendo para V:

V  =  (g / f )1/2 (R S ) 1/2

(110)

V  =  C (R S )1/2

(111)

en la cual C = coeficiente de Chézy:

C  =  (g / f )1/2

(112)

Por lo tanto, el factor de fricción f en la Ec. 73 es:

g f  =  ______           C 2

(113)

La Ec. 111 es la fórmula de Chézy. De la Ec. 110 se puede derivar una variante de la fórmula de Chézy:

V 2 S  =  f   _____                 g R

(114)

lo cual equivale a:

D       V 2 S  =  f   _____   _____                  R       g D

(115)

El último término de esta ecuación es el cuadrado del número de Froude. Por lo tanto:

D        S  =  f   _____   F 2                R

(116)

Para un canal hidráulicamente ancho, D ≅ R, y la Ec. 116 se reduce a:

S  =  f F 2

(117)

La Ec. 117 es la ecuación modificada de Chezy. Nótese que es la misma que la Ec. 80, la ecuación modificada de Darcy-Weisbach. La Tabla 10 muestra los valores correspondientes de f, f  y el coeficiente de Chézy.

Tabla 10  Valores correspondientes de f, f y C. Factor de fricción de Darcy-Weisbach f Factor de fricción modificado f Chézy C (Unidades SI) 0.016 0.002 70.02 0.024 0.003 57.17 0.032 0.004 49.51 0.040 0.005 44.29

3.4.2  Fórmula de Manning

La fórmula de Manning, en unidades SI, es la siguiente:

1 V  =  ____  R 2/3 S 1/2            n

(118)

en la cual n = coeficiente de fricción de Manning, factor de fricción, o simplemente n de Manning.

A fin de comparar con la fórmula de Chezy, la ecuación de Manning se expresa como sigue:

1 V  =  _____  R 1/6 R 1/2 S 1/2             n

(119)

La relación entre los coeficientes de Manning y Chezy se encuentra comparando las Ecs. 111 y 119:

1 C  =  ____  R 1/6            n

(120)